PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
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¿qué propiedades tienen los determinantes?
Algunas de las propiedades más importantes de los determinantes son:
1. Propiedad de la diagonal principal: El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
2. Propiedad de la permutación: Si se intercambian dos filas o columnas de una matriz, su determinante cambia de signo.
3. Propiedad de la multiplicación por un escalar: Si se multiplica cada elemento de una matriz por un escalar k, su determinante se multiplica por k^n, esto es: det(kA)=(k^n)det(A), donde n es el orden de la matriz cuadrada (su número de filas y columnas).
4. Propiedad de la suma de filas o columnas: Si se suma a una fila o columna de una matriz un múltiplo de otra fila o columna, su determinante no cambia.
5. Propiedad de la matriz nula: El determinante de la matriz nula es igual a cero.
6. Propiedad de la matriz inversa: El determinante de la matriz inversa de una matriz cuadrada A es igual al inverso del determinante de A, esto es a 1/|A|.
7. Propiedad de la matriz traspuesta: El determinante de la traspuesta de una matriz cuadrada A es igual al determinante de A.
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exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii
exámenes de pau de matemáticas ii
PAU Madrid Convocatoria Ordinaria 2024
Ejercicio B1.
Consideremos las matrices reales \[ A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} b & 2b & b \\ 2b & 3b & b \\ b & b & b \end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \] con \(b\neq 0\).
Se pide:
- (a) Encontrar todos los valores de \(b\) para los que se verifica \[ B\,C\,B^{-1}=A. \]
- (b) Calcular el determinante de la matriz \(AA^t\).
- (c) Resolver el sistema \[ B\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\-1\\1 \end{pmatrix} \] para \(b=1\).
Solución
B1 (b):
Se pide calcular el determinante de \(AA^t\). Recordemos que para cualquier matriz cuadrada \(A\) se cumple: \[ \det(AA^t)=(\det A)^2. \]
Primero, calculemos \(\det A\) para \[ A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}. \]
Utilizando la regla de Sarrus o el método de cofactores, se tiene:
\(\begin{aligned} \det A &= 3\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} - (-1)\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \\[1mm] &= 3\,(1\cdot3-1\cdot(-1)) + 1\,(1\cdot3-1\cdot1) + 1\,(1\cdot(-1)-1\cdot1)\\[1mm] &= 3\,(3+1) + (3-1) + (-1-1)\\[1mm] &= 3\cdot4 + 2 - 2\\[1mm] &= 12. \end{aligned}\)
Entonces, se tiene: \[ \det(AA^t)=(\det A)^2=12^2=144. \]
EBAU Región de Murcia Junio 2024
Problema 2
Se dice que una matriz cuadrada \(A\) de orden 2 es una matriz de Hadamard si está formada solo por 1’s y \(-1\)’s y cumple que \[ A\cdot A^T = 2I, \] donde \(A^T\) es la traspuesta de \(A\) e \(I\) es la matriz identidad de orden 2.
a) Determine cuál de las siguientes matrices es de Hadamard:
- \(A_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\)
- \(A_2=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\)
b) Si \(A\) es una matriz de Hadamard de orden 2, calcule razonadamente su determinante.
c) Justifique que toda matriz de Hadamard de orden 2 es regular (invertible) y obtenga una expresión para su inversa en términos de \(A^T\).
Solución
Apartado b: Cálculo del determinante
Sea \(A\) una matriz de Hadamard de orden 2. Se tiene que:
\[ A\cdot A^T=2I. \]Tomando determinantes en ambos lados:
\[ \det(A\cdot A^T)=\det(2I). \]Como \(\det(A\cdot A^T)=\det(A)\det(A^T)=(\det A)^2\) y \(\det(2I)=2^2=4\), se concluye que:
\[ (\det A)^2=4 \quad\Longrightarrow\quad \det A=\pm2. \]EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024
Problema 2
Se dice que una matriz cuadrada A de orden 2 es una matriz ortogonal si cumple que \(A \cdot A^T = I\), donde \(A^T\) denota la matriz traspuesta de A e I denota la matriz identidad de orden 2.
(a) (1 p.) Estudie si las siguientes matrices son ortogonales o no:
\[ A = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}. \](b) (0,75 p.) Si A es una matriz ortogonal cualquiera de orden 2, calcule razonadamente su determinante.
(c) (0,75 p.) Justifique que si \(A\) y \(B\) son dos matrices ortogonales cualesquiera de orden 2, entonces el producto \(C = A \cdot B\) también lo es.
Solución
Parte (b): Cálculo del determinante.
Si \(A\) es una matriz ortogonal, se cumple que \(A \cdot A^T = I\). Tomando determinantes en ambos lados:
\[ \det(A \cdot A^T) = \det(I) \quad \Longrightarrow \quad \det(A) \cdot \det(A^T) = 1. \]Como \(\det(A^T) = \det(A)\), obtenemos:
\[ \det(A)^2 = 1 \quad \Longrightarrow \quad \det(A) = \pm 1. \]Por lo tanto, el determinante de una matriz ortogonal es siempre \( \pm 1 \).
Parte (c): Justificación de que el producto de matrices ortogonales también es ortogonal.
Sean \(A\) y \(B\) dos matrices ortogonales, esto significa que \(A \cdot A^T = I\) y \(B \cdot B^T = I\). Queremos demostrar que \(C = A \cdot B\) es también ortogonal.
La traspuesta de \(C\) es \(C^T = (A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T\). Entonces:
\[ C \cdot C^T = (A \cdot B) \cdot (B^T \cdot A^T) = A \cdot (B \cdot B^T) \cdot A^T = A \cdot I \cdot A^T = A \cdot A^T = I. \]Por lo tanto, \(C\) es ortogonal.
EBAU Castilla y León 2024 - Matemáticas II
Problema 2
(Álgebra)
(a) Calcular el determinante y el rango de \(M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}\) para cada valor de \(a \in \mathbb{R}\).
(b) Para \(a = 0\), calcular el determinante de la matriz \(P\) cuando \(2P M = M^3\).
Apartado (b): Cálculo del determinante de \(P\) cuando \(a = 0\).
Cuando \(a = 0\), la matriz \(M\) es:
\[ M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \]Queremos hallar \(P\) tal que \(2P M = M^3\). Aplicamos propiedades de los determinantes.
Primero, calculamos el determinante de \(M\) cuando \(a = 0\):
\[ \det(M) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 0 + 2 \cdot (-1) = -2. \]Sabemos que el determinante de \(M^3\) se puede escribir como:
\[ \det(M^3) = (\det(M))^3 = (-2)^3 = -8. \]Además, usamos la propiedad de los determinantes en productos de matrices: \(\det(2P M) = 2^3 \det(P) \det(M)\), dado que \(P\) es una matriz cuadrada de orden 3 y \(M\) también es cuadrada. Entonces tenemos:
\[ \det(2P M) = 2^3 \det(P) \det(M) = 8 \det(P) \det(M). \] Como \(2P M = M^3\), se cumple que \(\det(2P M) = \det(M^3)\). Igualando ambos lados, obtenemos: \[ 8 \det(P) \cdot (-2) = -8. \] Despejamos \(\det(P)\): \[ -16 \det(P) = -8 \quad \Longrightarrow \quad \det(P) = \frac{1}{2}. \]Por lo tanto, el determinante de \(P\) es \(\frac{1}{2}\).