multiplicación o PRODUCTO DE MATRICES
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¿Qué es la multiplicación o producto de matrices? ¿cómo multiplico matrices?
¿Qué es la multiplicación o producto de matrices?
El producto de matrices, también conocido como multiplicación de matrices, es una operación fundamental en álgebra lineal que combina dos matrices para producir una nueva matriz. A diferencia de la multiplicación de una matriz por un escalar, que implica multiplicar cada elemento de una matriz por un escalar (número real), la multiplicación de matrices involucra un proceso más complejo de multiplicar filas de una matriz por columnas de otra matriz.
Condiciones para la multiplicación de matrices:
Para que dos matrices y se puedan multiplicar, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz . En otras palabras, si es de dimensión y es de dimensión , entonces la multiplicación de matrices es posible si y solo si .
¿Cómo multiplico matrices?
El producto o multiplicación de de dos matrices y , denotado como , es una nueva matriz de dimensión , donde es el número de filas de y es el número de columnas de . El elemento de la matriz resultante se calcula como el producto escalar de la fila de la matriz y la columna de la matriz .
PROBLEMAS/ejercicios RESUELTOS: vídeos y pdf para descargar
exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii
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- Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria) Ejercicio 5 Apartado a: Enlace al vídeo
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Considera la matriz
a) Calcula .
b) Halla la matriz X, si es posible, que verifica , donde I y O son la matriz identidad y nula de orden 3 respectivamente.
ABAU Galicia Convocatoria Ordinaria 2024 - Matemáticas II
Pregunta 1. Números y Álgebra. (2 puntos)
Sean \(A\) y \(B\) dos matrices tales que \[ A + 2B = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\[4mm] 0 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad A + B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[4mm] 0 & 2 \end{pmatrix}. \]
(a) Calcule \(A^2\).
(b) Calcule la matriz \(X\) que satisface la igualdad \[ A^2X - (A+B)^T = 3I - 2X, \] siendo \(I\) la matriz identidad de orden 2 y \((A+B)^T\) la traspuesta de \((A+B)\).
Solución
Solución apartado a: Determinación de \(A^2\)
Paso 1: Obtención de las matrices \(A\) y \(B\)
Tenemos las siguientes ecuaciones matriciales:
Ec1: \(A + 2B = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\[4mm] 0 & 3 \end{pmatrix}\)
Ec2: \(A + B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[4mm] 0 & 2 \end{pmatrix}\)
Restamos Ec2 de Ec1:
\[ (A+2B) - (A+B)=B=\begin{pmatrix} 6-4 & -3-(-1) \\[4mm] 0-0 & 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\[4mm] 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
Sustituyendo \(B\) en Ec2:
\[ A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[4mm] 0 & 2 \end{pmatrix} - B = \begin{pmatrix} 4-2 & -1-(-2) \\[4mm] 0-0 & 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\[4mm] 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
Paso 2: Obtención de \(A^2\)
\[ A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot2+1\cdot0 & 2\cdot1+1\cdot1 \\[4mm] 0\cdot2+1\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024
Pregunta 2. Sea \( x \in \mathbb{R} \) y las matrices \[ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[2mm] -1 & 0 & 3\\[2mm] 2 & 0 & x \end{pmatrix},\quad B=(\,1\quad 1\quad 2\,),\quad C=\begin{pmatrix} 1\\[2mm] 1\\[2mm] 2 \end{pmatrix}. \]
(a) [0,75 p.] Decide de forma razonada si se pueden realizar las operaciones siguientes: \(CAB\) y \(BAC\). ¿Cuál sería la dimensión de la matriz resultante si pudiese realizarse?
(b) [1,75 p.] Calcula, según los valores de \(x\), el rango de \(A\). Para \(x=0\), comprueba que existe \(A^{-1}\) y cálcuala.
Solución
Apartado a: Análisis de las operaciones \(CAB\) y \(BAC\)
Observamos que la matriz \(A\) es de dimensión \(3 \times 3\). La matriz \(B\) se expresa en forma de vector fila, es decir, es de dimensión \(1 \times 3\), y la matriz \(C\) es un vector columna de dimensión \(3 \times 1\).
Para la operación \(CAB\) (interpretada como \((C \cdot A) \cdot B\)):
- \(C \cdot A\): Multiplicamos una matriz \(3 \times 1\) por una \(3 \times 3\). Como el número de columnas de \(C\) (1) no coincide con el número de filas de \(A\) (3), esta multiplicación no está definida.
Por otro lado, para la operación \(BAC\) (interpretada como \((B \cdot A) \cdot C\)):
- \(B \cdot A\): Multiplicamos una matriz \(1 \times 3\) por una \(3 \times 3\), lo que da como resultado una matriz \(1 \times 3\).
- \((B \cdot A) \cdot C\): Multiplicamos la matriz \(1 \times 3\) resultante por \(C\) de dimensión \(3 \times 1\), obteniendo una matriz de dimensión \(1 \times 1\).
En consecuencia, la operación \(BAC\) está definida y produce un escalar (una matriz \(1 \times 1\)), mientras que \(CAB\) no lo está.
EBAU Región de Murcia Junio 2024
Problema 2
Se dice que una matriz cuadrada \(A\) de orden 2 es una matriz de Hadamard si está formada solo por 1’s y \(-1\)’s y cumple que \[ A\cdot A^T = 2I, \] donde \(A^T\) es la traspuesta de \(A\) e \(I\) es la matriz identidad de orden 2.
a) Determine cuál de las siguientes matrices es de Hadamard:
- \(A_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\)
- \(A_2=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\)
b) Si \(A\) es una matriz de Hadamard de orden 2, calcule razonadamente su determinante.
c) Justifique que toda matriz de Hadamard de orden 2 es regular (invertible) y obtenga una expresión para su inversa en términos de \(A^T\).
Solución
Apartado a: Verificación de las matrices Hadamard
Para la matriz \[ A_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \] su traspuesta es \[ A_1^T=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. \]
Calculamos:
\[ A_1\cdot A_1^T=\begin{pmatrix} 1\cdot1+1\cdot1 & 1\cdot(-1)+1\cdot1 \\[2mm] -1\cdot1+1\cdot1 & -1\cdot(-1)+1\cdot1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\[2mm] 0 & 2 \end{pmatrix}=2I. \]Por lo tanto, \(A_1\) es de Hadamard.
Para la matriz \[ A_2=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, \] su traspuesta es \[ A_2^T=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}. \]
Entonces:
\[ A_2\cdot A_2^T=\begin{pmatrix} 1\cdot1+1\cdot1 & 1\cdot(-1)+1\cdot(-1) \\[2mm] -1\cdot1+(-1)\cdot1 & -1\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -2 \\[2mm] -2 & 2 \end{pmatrix}. \]Dado que \(A_2\cdot A_2^T\neq2I\), \(A_2\) no es de Hadamard.