Planteamiento y resolución de problemas utilizando sistemas de ecuaciones lineales
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¿Como planteo y resuelvo problemas usando sistemas de ecuaciones lineales?
Los sistemas de ecuaciones lineales son una herramienta poderosa para modelar y resolver problemas en diversas áreas, desde la física y la ingeniería hasta la economía y las ciencias sociales. Su versatilidad permite plantear y resolver una amplia gama de problemas que involucran relaciones entre variables.
Pasos generales para resolver problemas usando sistemas de ecuaciones lineales:
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Definición del problema: Leer y comprender cuidadosamente el problema para identificar las variables involucradas y las relaciones que existen entre ellas.
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Traducción del problema a un sistema de ecuaciones: Expresar las relaciones entre las variables en forma de ecuaciones lineales. Para ello, se pueden asignar símbolos a las variables desconocidas y utilizarlas para representar las relaciones matemáticas descritas en el problema.
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Resolución del sistema de ecuaciones: Seleccionar un método adecuado para resolver el sistema de ecuaciones lineales planteado. Existen diversos métodos como el método de los determinantes o el método de Gauss. La elección del método dependerá del tamaño y la complejidad del sistema, así como de las preferencias del estudiante.
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Interpretación de las soluciones: Una vez obtenidas las soluciones del sistema de ecuaciones, es necesario interpretarlas en el contexto del problema original. Esto implica analizar si las soluciones tienen sentido en el contexto del problema y si cumplen con las condiciones establecidas.
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Comprobación de las soluciones: Es importante verificar que las soluciones obtenidas satisfacen todas las ecuaciones del sistema original. Esto se puede hacer sustituyendo las soluciones en cada ecuación y comprobando si se cumple la igualdad.
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PAU Madrid Convocatoria Ordinaria 2024
Pregunta A1.
Se tienen listones de madera de tres longitudes diferentes: largos, intermedios y cortos. Puestos uno tras otro, tanto con dos listones largos y cuatro intermedios como con tres intermedios y quince cortos se consigue la misma longitud total. Un listón largo supera en 17 cm la medida de uno intermedio más uno corto. Y con nueve listones cortos hemos de añadir 7 cm para igualar la longitud de uno intermedio seguido por uno largo. Se pide calcular la longitud de cada tipo de listón.
(a) Plantea el sistema de ecuaciones que modela el problema.
(b) Resuelve el sistema utilizando eliminación gaussiana sin normalizar la matriz hasta el último paso, siguiendo estos pasos:
- Paso 1: Escribe el sistema en forma matricial.
- Paso 2: Realiza operaciones elementales para eliminar las incógnitas, sin normalizar hasta el último paso.
- Paso 3: Despeja las incógnitas y obtén las longitudes de los listones.
Solución
Paso 1: Planteamiento del sistema
Sean:
\(L=\) longitud del listón largo,
\(I=\) longitud del listón intermedio,
\(C=\) longitud del listón corto.
A partir del enunciado, obtenemos:
- Puesta en fila: dos largos y cuatro intermedios tienen la misma longitud que tres intermedios y quince cortos: \[ 2L+4I = 3I+15C \quad\Longrightarrow\quad 2L+I-15C=0. \]
- Un listón largo supera en 17 cm a la suma de uno intermedio y uno corto: \[ L = I + C + 17. \] O equivalentemente, \[ L - I - C = 17. \]
- Con nueve listones cortos se deben añadir 7 cm para igualar la longitud de uno intermedio seguido de uno largo: \[ 9C + 7 = I + L \quad\Longrightarrow\quad L + I - 9C = 7. \]
Así, el sistema es:
\[ \begin{cases} 2L + I - 15C = 0,\\[2mm] L - I - C = 17,\\[2mm] L + I - 9C = 7. \end{cases} \]
Paso 2: Resolución del sistema mediante eliminación gaussiana
Escribimos la matriz aumentada del sistema, considerando las incógnitas en el orden \(L\), \(I\), \(C\):
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -15 & 0\\[4mm] 1 & -1 & -1 & 17\\[4mm] 1 & 1 & -9 & 7 \end{array} \right]. \]
Para eliminar \(L\) en la segunda fila, multiplicamos la segunda fila por 2 y restamos la primera fila:
\(2 \times\) (fila 2): \([2,\; -2,\; -2,\; 34]\). Restamos la fila 1: \([2-2,\; -2-1,\; -2-(-15),\; 34-0] = [0,\; -3,\; 13,\; 34]\). Así, la nueva fila 2 es: \[ [0,\; -3,\; 13 \;|\; 34]. \]
Para eliminar \(L\) en la tercera fila, multiplicamos la tercera fila por 2 y restamos la primera fila:
\(2 \times\) (fila 3): \([2,\; 2,\; -18,\; 14]\). Restamos la fila 1: \([2-2,\; 2-1,\; -18-(-15),\; 14-0] = [0,\; 1,\; -3,\; 14]\). Así, la nueva fila 3 es: \[ [0,\; 1,\; -3 \;|\; 14]. \]
La matriz ampliada queda:
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -15 & 0\\[4mm] 0 & -3 & 13 & 34\\[4mm] 0 & 1 & -3 & 14 \end{array} \right]. \]
Ahora, eliminamos \(I\) en la fila 2 utilizando la fila 3. Para ello, multiplicamos la fila 3 por 3 y la sumamos a la fila 2:
\(3 \times\) (fila 3): \([0,\; 3,\; -9,\; 42]\). Sumamos a la fila 2: \([0+0,\; -3+3,\; 13+(-9),\; 34+42] = [0,\; 0,\; 4,\; 76]\). Así, la nueva fila 2 es: \[ [0,\; 0,\; 4 \;|\; 76]. \]
La matriz ampliada es:
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -15 & 0\\[4mm] 0 & 0 & 4 & 76\\[4mm] 0 & 1 & -3 & 14 \end{array} \right]. \]
Paso 3: Resolución final
De la segunda fila, tenemos: \[ 4C=76 \quad \Longrightarrow \quad C=19. \]
De la tercera fila: \[ I - 3C=14 \quad \Longrightarrow \quad I = 14 + 3(19) = 14 + 57 = 71. \]
De la primera fila: \[ 2L + I - 15C = 0 \quad \Longrightarrow \quad 2L + 71 - 15(19) = 2L + 71 - 285 = 0, \] lo que implica: \[ 2L=285-71=214 \quad \Longrightarrow \quad L=107. \]
Conclusión:
La solución del sistema es:
\[ L=107\text{ cm},\quad I=71\text{ cm},\quad C=19\text{ cm}. \]
Por lo tanto, las longitudes de los listones son 107 cm para los largos, 71 cm para los intermedios y 19 cm para los cortos.
PEBAU Asturias Convoctoria Extraordinaria 2024
Pregunta 1. Una fábrica produce tazas, platos y teteras de cerámica. Por cada uno de estos productos se utiliza una cantidad fija de material, que se introduce en la máquina de la cual sale la pieza preparada para el embalaje. En cada taza la máquina utiliza 5 minutos, en cada plato 4 minutos y en cada tetera 8 minutos. El coste del material utilizado es 3 € por taza, 4 € por plato y 3 € por tetera. Se hace un estudio de la producción durante 50 minutos y se calcula que el coste es de 26 €.
(a) [0,75 p.] Plantea un sistema de ecuaciones lineales que modelice el problema y escríbelo matricialmente.
(b) [1 p.] Suponiendo que en estos 50 minutos se fabricaron en total exactamente 8 piezas, calcula, si es posible, cuántas unidades se produjeron de cada tipo.
(c) [0,75 p.] Si se consigue rebajar el tiempo de elaboración de cada tetera de 8 a 5 minutos, ¿sería posible fabricar exactamente 10 piezas?
Solución
Apartado a:
Sea \( x \) el número de tazas, \( y \) el número de platos y \( z \) el número de teteras.
La máquina emplea:
- 5 minutos por taza: \(5x\).
- 4 minutos por plato: \(4y\).
- 8 minutos por tetera: \(8z\).
Como el tiempo total es 50 minutos, se tiene:
\[ 5x + 4y + 8z = 50. \]Además, el coste del material es:
- 3 € por taza: \(3x\).
- 4 € por plato: \(4y\).
- 3 € por tetera: \(3z\).
Y se sabe que el coste total es 26 €, de modo que:
\[ 3x + 4y + 3z = 26. \]Por tanto, el sistema de ecuaciones es:
\[ \begin{cases} 5x + 4y + 8z = 50,\\[1mm] 3x + 4y + 3z = 26. \end{cases} \]Su forma matricial es:
\[ \begin{pmatrix} 5 & 4 & 8\\[2mm] 3 & 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\[2mm] y \\[2mm] z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 \\[2mm] 26 \end{pmatrix}. \]Apartado b:
Partimos de:
\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 8\\[4mm] 5 & 4 & 8 & 50\\[4mm] 3 & 4 & 3 & 26 \end{array} \right). \]
Paso 1: Usamos la primera fila como pivote para eliminar \(x\) en las demás filas.
Actualizamos la fila 2: R2 \(\leftarrow\) R2 \(-\) 5×R1:
\[ (5-5\cdot1,\; 4-5\cdot1,\; 8-5\cdot1,\; 50-5\cdot8) = (0,\; -1,\; 3,\; 10). \]Actualizamos la fila 3: R3 \(\leftarrow\) R3 \(-\) 3×R1:
\[ (3-3\cdot1,\; 4-3\cdot1,\; 3-3\cdot1,\; 26-3\cdot8) = (0,\; 1,\; 0,\; 2). \]La matriz queda:
\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 8\\[4mm] 0 & -1 & 3 & 10\\[4mm] 0 & 1 & 0 & 2 \end{array} \right). \]Paso 2: Eliminamos la incógnita \(y\) en la fila 3: R3 \(\leftarrow\) R3 + R2:
\[ (0,\; 1+(-1),\; 0+3,\; 2+10) = (0,\; 0,\; 3,\; 12). \]La matriz se transforma en:
\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 8\\[4mm] 0 & -1 & 3 & 10\\[4mm] 0 & 0 & 3 & 12 \end{array} \right). \]Paso 3 (Normalización): Normalizamos la fila 3 dividiéndola por 3:
\[ \text{Fila 3} \leftarrow \frac{1}{3}\,\text{Fila 3} = (0,\; 0,\; 1,\; 4). \]Luego, eliminamos \(z\) en la fila 2: R2 \(\leftarrow\) R2 \(-\) 3×R3:
\[ (0,\; -1,\; 3-3,\; 10-12) = (0,\; -1,\; 0,\; -2). \]Normalizamos la fila 2 dividiéndola por \(-1\):
\[ \text{Fila 2} \leftarrow \frac{1}{-1}\,\text{Fila 2} = (0,\; 1,\; 0,\; 2). \]Finalmente, eliminamos \(y\) y \(z\) en la fila 1: R1 \(\leftarrow\) R1 \(-\) R2 \(-\) R3:
\[ (1,\; 1-1,\; 1-1,\; 8-2-4) = (1,\; 0,\; 0,\; 2). \]La matriz escalonada reducida es:
\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\[4mm] 0 & 1 & 0 & 2\\[4mm] 0 & 0 & 1 & 4 \end{array} \right). \]Por lo tanto, la solución es: \(x = 2\), \(y = 2\) y \(z = 4\). Es decir, en 50 minutos se produjeron 2 tazas, 2 platos y 4 teteras.
Apartado c:
Si se rebaja el tiempo de elaboración de cada tetera de 8 a 5 minutos, la ecuación de tiempo se modifica a:
\[ 5x + 4y + 5z = 50. \]Conservando la ecuación de coste:
\[ 3x + 4y + 3z = 26, \]y suponiendo que en este caso se fabrican exactamente 10 piezas, tenemos:
\[ x + y + z = 10. \]El sistema a resolver es:
\[ \begin{cases} x + y + z = 10,\\[2mm] 5x + 4y + 5z = 50,\\[2mm] 3x + 4y + 3z = 26. \end{cases} \]Multiplicamos la primera ecuación por 3:
\[ 3x + 3y + 3z = 30. \]Restando la ecuación de coste:
\[ (3x+3y+3z) - (3x+4y+3z) = 30 - 26 \quad \Longrightarrow \quad -y = 4, \]de donde \( y = -4 \), lo cual es imposible en un problema de producción.
Por lo tanto, con el tiempo reducido para las teteras y en 50 minutos no es posible fabricar exactamente 10 piezas.
EBAU La Rioja Convocatoria Extraordinaria 2024
Problema 1
Taylor Swift tiene un total de 435 millones de seguidores en las tres siguientes redes sociales: Instagram, X (antiguo Twitter) y YouTube. Si ganara en Instagram tantos seguidores como la mitad de los que tiene en YouTube, el número de sus seguidores en Instagram sería el doble de la suma de los que tiene en X y en YouTube. Además, si Taylor recibiera cada mes 10 dólares por cada millón de seguidores en Instagram, 20 dólares por cada millón de seguidores en X y 30 dólares por cada millón de seguidores en YouTube, tendría unos ingresos mensuales de 6.500 dólares. Calcule cuántos seguidores tiene Taylor Swift en cada una de estas redes sociales.
Solución
Paso 1: Planteamiento del sistema de ecuaciones.
Denotemos por \(x\), \(y\) y \(z\) los seguidores (en millones) en Instagram, X y YouTube, respectivamente. A partir del enunciado, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
\[ \begin{aligned} x + y + z &= 435 \quad \text{(total de seguidores)}, \\[2mm] x + \frac{z}{2} &= 2(y + z) \quad \text{(condición sobre los seguidores)}, \\[2mm] 10x + 20y + 30z &= 6500 \quad \text{(ingresos en dólares)}. \end{aligned} \]El segundo enunciado se puede reescribir como:
\[ 2x - 4y - 3z = 0. \]Finalmente, el sistema queda así:
\[ \begin{aligned} x + y + z &= 435, \\[2mm] 2x - 4y - 3z &= 0, \\[2mm] x + 2y + 3z &= 650. \end{aligned} \]Paso 2: Resolución del sistema mediante determinantes.
Escribimos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\[2mm] 2 & -4 & -3 \\[2mm] 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 435 \\[2mm] 2 & -4 & -3 & 0 \\[2mm] 1 & 2 & 3 & 650 \end{pmatrix}. \]Primero, calculamos el determinante de \(A\):
\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\[1mm] 2 & -4 & -3 \\[1mm] 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1\cdot((-4)\cdot3 - (-3)\cdot2) - 1\cdot(2\cdot3 - (-3)\cdot1) + 1\cdot(2\cdot2 - (-4)\cdot1) = -7. \]Como \(\det(A) = -7 \neq 0\), el sistema tiene solución única.
Paso 3: Cálculo de las soluciones usando la regla de Cramer.
Calculamos los determinantes de \(A_x\), \(A_y\) y \(A_z\), sustituyendo la columna correspondiente por el vector de términos independientes:
\[ A_x = \begin{vmatrix} 435 & 1 & 1 \\[1mm] 0 & -4 & -3 \\[1mm] 650 & 2 & 3 \end{vmatrix}, \quad A_y = \begin{vmatrix} 1 & 435 & 1 \\[1mm] 2 & 0 & -3 \\[1mm] 1 & 650 & 3 \end{vmatrix}, \quad A_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 435 \\[1mm] 2 & -4 & 0 \\[1mm] 1 & 2 & 650 \end{vmatrix}. \]Luego, usando la regla de Cramer:
\[ x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)}, \quad y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)}, \quad z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)}. \]Conclusión:
Después de resolver los determinantes:
\[ x = 280, \quad y = 95, \quad z = 60. \]Por lo tanto, Taylor Swift tiene 280 millones de seguidores en Instagram, 95 millones en X, y 60 millones en YouTube.
EBAU Región de Murcia Junio 2024
Problema 1
En los años 2022 y 2023, Carlitos Alcaraz ganó un total de 10 torneos (Grand Slam, Masters 1000 y ATP 500) que le dieron 10.000 puntos. Además, el número de torneos ATP 500 fue 1 más que la mitad de la suma de torneos ganados en las otras dos categorías. Se sabe:
- Grand Slam: 2.000 puntos
- Masters 1000: 1.000 puntos
- ATP 500: 500 puntos
Determine el número de torneos ganados en cada categoría.
Solución
Paso 1: Planteamiento del sistema en forma matricial
Sea:
\(x\): torneos de Grand Slam,
\(y\): torneos de Masters 1000,
\(z\): torneos de ATP 500.
El sistema de ecuaciones es:
\[ \begin{cases} x + y + z = 10,\\[2mm] 2000x + 1000y + 500z = 10000,\\[2mm] z = \frac{x+y}{2} + 1 \quad \Longrightarrow \quad x + y - 2z = -2. \end{cases} \]En forma matricial, \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\), donde
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4mm] 4 & 2 & 1\\[4mm] 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\[2mm] y \\[2mm] z \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 10 \\[2mm] 20 \\[2mm] -2 \end{pmatrix}. \]La matriz ampliada es:
\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 10\\[4mm] 4 & 2 & 1 & 20\\[4mm] 1 & 1 & -2 & -2 \end{array}\right]. \]Paso 2: Resolvemos el sistema por Gauss-Jordan, esto es, haciendo ceros por debajo y por encima de las cabeceras de fila
Operación 1: Usamos \(R_1\) como pivote.
-
\(R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1\):
\( (4,\,2,\,1,\,20) - 4\cdot(1,\,1,\,1,\,10) = (0,\,-2,\,-3,\,-20) \). -
\(R_3 \leftarrow R_3 - R_1\):
\( (1,\,1,\,-2,\,-2) - (1,\,1,\,1,\,10) = (0,\,0,\,-3,\,-12) \).
La matriz resultante es:
\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 10\\[4mm] 0 & -2 & -3 & -20\\[4mm] 0 & 0 & -3 & -12 \end{array}\right]. \]Operación 2: Eliminamos la entrada en la columna 3 de \(R_1\).
Multiplicamos \(R_1\) por 3 y sumamos \(R_3\):
\[ 3R_1 + R_3: \quad 3(1,1,1,10) + (0,0,-3,-12) = (3,3,0,18). \]Reemplazamos \(R_1\) por este resultado:
\[ R_1 \leftarrow (3,3,0,18). \]Operación 3: Eliminamos la entrada en la columna 3 de \(R_2\):
\(R_2 \leftarrow R_2 - R_3\):
\[ (0,-2,-3,-20) - (0,0,-3,-12) = (0,-2,0,-8). \]Matriz tras la Operación 3:
\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 3 & 0 & 18\\[4mm] 0 & -2 & 0 & -8\\[4mm] 0 & 0 & -3 & -12 \end{array}\right]. \]Operación 4: Eliminamos la entrada en la columna 2 de \(R_1\) usando \(R_2\).
Para evitar fracciones intermedias, multiplicamos \(R_1\) por 2 y \(R_2\) por 3:
- \(2R_1 = (6,6,0,36)\).
- \(3R_2 = (0,-6,0,-24)\).
Sumamos: \(2R_1 + 3R_2 = (6,0,0,12)\). Reemplazamos \(R_1\) por esta combinación:
\[ R_1 \leftarrow (6,0,0,12). \]La matriz del sistema ya es diagonal:
\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 6 & 0 & 0 & 12\\[4mm] 0 & -2 & 0 & -8\\[4mm] 0 & 0 & -3 & -12 \end{array}\right]. \]Paso 3: Despejamos x, y, z
Dividimos cada fila por su elemento diagonal:
- \(R_1 \leftarrow \frac{1}{6}(6,0,0,12) = (1,0,0,2)\).
- \(R_2 \leftarrow \frac{1}{-2}(0,-2,0,-8) = (0,1,0,4)\).
- \(R_3 \leftarrow \frac{1}{-3}(0,0,-3,-12) = (0,0,1,4)\).
La matriz escalonada reducida es:
\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\[4mm] 0 & 1 & 0 & 4\\[4mm] 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right]. \]Conclusión
La solución es: \[ x=2,\quad y=4,\quad z=4. \]
Es decir, Carlitos Alcaraz ganó:
- 2 torneos de Grand Slam
- 4 torneos de Masters 1000
- 4 torneos de ATP 500