TEOREMA DEL RANGO O DE ROUCHÉ-FROBENIUS
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¿Qué dice el teorema del rango o de rouché-frobenius?
El Teorema del rango, o de Rouché-Frobenius, es un principio fundamental del álgebra lineal que proporciona una relación directa entre el rango de las matrices de un sistema de ecuaciones lineales y la compatibilidad (existencia de soluciones) y tipo de solución de dicho sistema.
Enunciado del Teorema:
Considera un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
Para que este sistema sea compatible (tenga una o más soluciones), se debe cumplir que el rango de la matriz de coeficientes (A) debe ser igual al rango de la matriz ampliada (A|b), si además es igual al número de incógnitas será compatible determinado. En caso contrario será incompatible. La matriz ampliada es la matriz formada al agregar la columna de los términos independientes a la matriz de coeficientes.
Interpretación y casos:
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Rango(A) = Rango(A|b) = n (número de incógnitas): El sistema es compatible determinado (posee una solución única).
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Rango(A) = Rango(A|b) < n (número de incógnitas): El sistema es compatible indeterminado (posee infinitas soluciones).
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Rango(A) ≠ Rango(A): El sistema es incompatible (no tiene solución).