regla de barrows
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¿qUÉ DICE LA REGLA DE BARROWS? ¿CÓMO APLICO LA REGLA DE BARROWS?
Las integrales definidas son una herramienta fundamental en el cálculo y tienen diversas aplicaciones en matemáticas, física, ingeniería y otras ciencias. Para calcularlas usamos la regla de Barrows.
Geométricamente, la integral definida representa el área neta (con signo) entre la gráfica de la función f(x) y el eje x, dentro del intervalo [a, b]. Si la función es positiva, el área es positiva; si es negativa, el área es negativa.
Las integrales definidas tienen una amplia gama de aplicaciones:
- Cálculo de áreas: Permite calcular áreas de regiones delimitadas por curvas.
- Cálculo de volúmenes: Se utiliza para calcular volúmenes de sólidos de revolución y otros tipos de sólidos.
- Cálculo de longitudes de arco: Permite calcular la longitud de una curva en un intervalo dado.
- Cálculo de trabajo: En física, se utiliza para calcular el trabajo realizado por una fuerza a lo largo de un desplazamiento.
- Cálculo de valores promedio: Permite calcular el valor promedio de una función en un intervalo.
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exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii
exámenes de pau de matemáticas ii
PAU Madrid Convocatoria Ordinaria 2024
Ejercicio B2.
Calcule:
- (a) (1.25 puntos) \[ \int_{1}^{e} (x+2)\ln x \, dx. \]
- (b) (1.25 puntos) \[ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \left(\tan\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{\cos x}}. \]
Solución
B2 (a):
Queremos calcular la integral \[ I=\int_{1}^{e} (x+2)\ln x \, dx. \] En esta ocasión aplicaremos integración por partes eligiendo:
- \(u=\ln x\), de donde se sigue que \(du=\frac{1}{x}\,dx\).
- \(dv=(x+2)dx\), por lo que \(v=\int (x+2)dx=\frac{x^2}{2}+2x\).
La fórmula de integración por partes es: \[ \int u\,dv = u\,v - \int v\,du. \] Entonces, \[ I = \left[\ln x \left(\frac{x^2}{2}+2x\right)\right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \left(\frac{x^2}{2}+2x\right)\frac{1}{x}\,dx. \]
Observamos que \[ \left(\frac{x^2}{2}+2x\right)\frac{1}{x} = \frac{x}{2}+2. \]
Por tanto, \[ I = \left[\ln x \left(\frac{x^2}{2}+2x\right)\right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e}\left(\frac{x}{2}+2\right)dx. \]
Evaluación del corchete:
En \(x=e\): \(\ln e = 1\) y \(\frac{e^2}{2}+2e\).
En \(x=1\): \(\ln 1 = 0\) (por lo que el término se anula).
Así, la contribución del corchete es:
\[
\frac{e^2}{2}+2e.
\]
Cálculo de la integral restante: \[ \int_{1}^{e}\left(\frac{x}{2}+2\right)dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{e} x\,dx + 2\int_{1}^{e} dx. \] Calculamos cada una:
\(\displaystyle \int_{1}^{e} x\,dx = \left.\frac{x^2}{2}\right|_{1}^{e} = \frac{e^2-1}{2},\) y \(\displaystyle \int_{1}^{e} dx = e-1.\)
Así, la integral se convierte en: \[ \frac{1}{2}\cdot\frac{e^2-1}{2} + 2(e-1)=\frac{e^2-1}{4} + 2(e-1). \]
Concluyendo, \[ I = \left(\frac{e^2}{2}+2e\right) - \left[\frac{e^2-1}{4} + 2(e-1)\right]. \]
Simplificamos:
Escribamos \( \frac{e^2}{2} = \frac{2e^2}{4}\) y \(2e = \frac{8e}{4}\). Entonces, \[ I = \frac{2e^2+8e}{4} - \left(\frac{e^2-1}{4} + \frac{8e-8}{4}\right) = \frac{2e^2+8e - e^2+1-8e+8}{4}. \]
Simplificando el numerador: \[ 2e^2 - e^2 +8e-8e+1+8 = e^2+9. \]
Por lo tanto, la integral es: \[ I=\frac{e^2+9}{4}. \]
EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024
Problema 4
Considere la función:
\[ f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}, \]definida para todo valor de \(x > 0\).
(a) (0,5 p.) Calcule \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\).
(b) (1,5 p.) Calcule la integral indefinida \( \int f(x) dx \).
(c) (0,5 p.) Determine el valor de \(a > 0\) para el cual se cumple que:
\[ \int_1^a f(x) dx = 4. \]Solución
Apartado (c): Cálculo del valor de \(a\).
Resolvemos la integral por partes. Tomamos:
\[ u = \ln(x), \quad dv = \frac{1}{\sqrt{x}}dx, \]lo que nos da:
\[ du = \frac{1}{x}dx, \quad v = 2\sqrt{x}. \]Aplicamos la fórmula de integración por partes:
\[ \int \ln(x) \frac{1}{\sqrt{x}}dx = 2\sqrt{x}\ln(x) - \int 2\frac{\sqrt{x}}{x}dx = 2\sqrt{x}\ln(x) - \int \frac{2}{\sqrt{x}}dx = 2\sqrt{x}\ln(x) - 4\sqrt{x}. \]Por lo tanto, la integral es:
\[ \int f(x)dx = 2\sqrt{x}(\ln(x) - 2) + C. \]Queremos que:
\[ \int_1^a f(x)dx = 4, \]es decir:
\[ 2\sqrt{a}(\ln(a) - 2) - 2\sqrt{1}(\ln(1) - 2) = 4. \]Simplificamos:
\[ 2\sqrt{a}(\ln(a) - 2) + 4 = 4, \] \[ 2\sqrt{a}(\ln(a) - 2) = 0. \]Como \(a > 0\) esto se cumple para \( \ln(a) = 2 \), lo que nos da \( a = e^2 \).
EBAU Castilla y León Convocatoria Ordinaria 2024
Problema E8
Calcular:
(a) \[ \lim_{x\to 0} \frac{x\,(e^x-1)}{\cos x-1} \] (1 punto)
(b) \[ \int_{0}^{2} e^{-x}(x-1)\,dx \] (1 punto)
Solución
Paso 2 (b): Cálculo de la integral
Debemos calcular: \[ I = \int_{0}^{2} e^{-x}(x-1)\,dx. \]
Utilizaremos el método de integración por partes. Sea:
- \(u = x-1 \quad \Rightarrow \quad du = dx,\)
- \(dv = e^{-x}dx \quad \Rightarrow \quad v = -e^{-x}.\)
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
\[ I = \left. u\,v \right|_{0}^{2} - \int_{0}^{2} v\,du. \]Calculamos el término de borde:
- En \(x=2\): \(u = 2-1 = 1\) y \(v = -e^{-2}\), por lo que \(u\,v = -e^{-2}\).
- En \(x=0\): \(u = 0-1 = -1\) y \(v = -e^{0} = -1\), por lo que \(u\,v = (-1)(-1) = 1\).
Entonces: \[ \left. u\,v \right|_{0}^{2} = (-e^{-2}) - (1) = -e^{-2} - 1. \]
Ahora, el integral de \(v\,du\) es:
\[ \int_{0}^{2} v\,du = \int_{0}^{2} (-e^{-x})\,dx. \]Calculamos esta integral: \[ \int_{0}^{2} (-e^{-x})\,dx = \left. e^{-x} \right|_{0}^{2} = e^{-2} - 1. \]
Por lo tanto, usando la fórmula de integración por partes, tenemos:
\[ I = \left(-e^{-2} - 1\right) - \left(e^{-2} - 1\right) = -e^{-2} - 1 - e^{-2} + 1 = -2e^{-2}. \]Así, la integral es \(I = -2e^{-2}\).