REGLA DE L'HÔPITAL
Conocimientos previos
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Regla de L'Hôpital: Enlace al vídeo
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¿Qué es la regla de l'hôpital? ¿cómo aplico la regla de l'hôpital?
La regla de L'Hôpital, es una técnica matemática que se utiliza para hallar límites indeterminados de la forma o .
Para entender cómo se usa la regla de L'Hôpital para resolver una indeterminación del tipo 0/0 o infinito/infinito puedes ver el vídeo de más arriba.
PROBLEMAS/ejercicios RESUELTOS: vídeos y pdf para descargar
exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii
exámenes de pau de matemáticas ii
- Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria) Ejercicio 2: Enlace al vídeo
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Considera la función continua definida por:
f(x)=(xcos(x)-asen(x))/x^3, si x<0; f(x) = bcos(x)-1, si x≥0
Calcula a y b.
- Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria Examen suplente) Ejercicio 2 Apartado b: Enlace al vídeo
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Considera la función definida por , donde f(x) = arctg(x+π) donde arctg denota la función arcotangente.
a) Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de f. Estudia y halla, si existen, los puntos de inflexión de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
b) Calcula lim(x→-π)〖arctg(x+π)/sen(x)].
PAU Madrid Convocatoria Ordinaria 2024
Ejercicio B2.
Calcule:
- (a) (1.25 puntos) \[ \int_{1}^{e} (x+2)\ln x \, dx. \]
- (b) (1.25 puntos) \[ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \left(\tan\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{\cos x}}. \]
Solución
B2 (b):
Se desea calcular el límite
\[
L=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \left(\tan\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{\cos x}}.
\]
Al sustituir \(x=\frac{\pi}{2}\) observamos que:
\(\tan\frac{x}{2}\to\tan\frac{\pi}{4}=1\) y \(\cos x\to \cos\frac{\pi}{2}=0\),
lo que genera la forma indeterminada \(1^\infty\).
Para resolver esta indeterminación, tomamos el logaritmo natural: \[ \ln L=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\ln\left(\tan\frac{x}{2}\right)}{\cos x}. \] Al evaluar directamente, tanto el numerador como el denominador tienden a 0; se tiene la forma \(0/0\) y podemos aplicar la regla de L'Hôpital.
Aplicando L'Hôpital: Derivamos el numerador y el denominador con respecto a \(x\).
Derivada del numerador:
Sea \(f(x)=\ln\left(\tan\frac{x}{2}\right)\). Entonces,
\[
f'(x)=\frac{1}{\tan\frac{x}{2}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\tan\frac{x}{2}\right).
\]
Recordamos que
\[
\frac{d}{dx}\tan\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2}.
\]
Por lo tanto,
\[
f'(x)=\frac{1}{\tan\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sec^2\frac{x}{2}}{\tan\frac{x}{2}}.
\]
Derivada del denominador:
Sea \(g(x)=\cos x\), de donde
\[
g'(x)=-\sin x.
\]
Aplicando L'Hôpital, tenemos: \[ \ln L=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{\sec^2\frac{x}{2}}{\tan\frac{x}{2}}}{-\sin x} = -\frac{1}{2}\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2\frac{x}{2}}{\tan\frac{x}{2}\,\sin x}. \]
Evaluamos el límite al sustituir \(x=\frac{\pi}{2}\):
- \( \frac{x}{2}\to\frac{\pi}{4}\), por lo que \(\sec^2\frac{\pi}{4} = \left(\frac{1}{\cos\frac{\pi}{4}}\right)^2 = \left(\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)^2 = 2.\)
- \(\tan\frac{\pi}{4}=1.\)
- \(\sin\frac{\pi}{2}=1.\)
Por lo tanto, \[ \ln L = -\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{1\cdot 1} = -1. \]
Finalmente, al aplicar la exponencial: \[ L = e^{-1}. \]
Conclusión: El límite es \[ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \left(\tan\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{\cos x}} = e^{-1}. \]