CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
Conocimientos previos
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¿Qué es la curvatura de una función? ¿Cuándo es cóncava? ¿úando es convexa? ¿Qué son los puntos de inflexión?
La concavidad y convexidad describen la curvatura de la gráfica de una función:
- Función convexa o cóncava hacia arriba: La gráfica se asemeja a un cuenco (∪). La función crece a un ritmo cada vez mayor.
- Función cóncava o cóncava hacia abajo: La gráfica se asemeja a una montaña (∩). La función decrece a un ritmo cada vez menor.
- Punto de inflexión: Es un punto donde la función cambia de concavidad.
Cómo determinarlo mediante la segunda derivada:
- Calcular la segunda derivada: f''(x)
- Igualar a cero y resolver: f''(x) = 0. Los puntos obtenidos son potenciales puntos de inflexión.
- Analiza el signo de f''(x): * Si f''(x) > 0 en un intervalo => La función es cóncava hacia arriba en ese intervalo. * Si f''(x) < 0 en un intervalo => La función es cóncava en ese intervalo.
- Cambio de signo de f''(x): Si la segunda derivada cambia de signo y f''(a) = 0, x=a es un punto de inflexión.
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- Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria Examen suplente) Ejercicio 3 Apartado a: Enlace al vídeo
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Considera la función definida por , donde f(x) = arctg(x+π) donde arctg denota la función arcotangente.
a) Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de f. Estudia y halla, si existen, los puntos de inflexión de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
b) Calcula lim(x→-π)〖arctg(x+π)/sen(x)].
PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024
Pregunta 3.
Se considera la función \[ f(x) = \frac{x^2 - 4}{1 - x}. \]
(a) [1 punto] Calcula el dominio de la función \(f\) y sus asíntotas.
(b) [1 punto] Halla, en caso de que existan, los máximos y mínimos y los puntos de inflexión. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
(c) [0,5 puntos] Utilizando los apartados anteriores, realiza un esbozo de la gráfica de \(f\).
Solución
Apartado b: Puntos de inflexión, intervalos de convexidad y concavidad
La función dada es:
\[ f(x) = \frac{x^2 - 4}{1 - x}. \]
Para calcular el dominio, debemos determinar para qué valores de \(x\) la función está definida, es decir, cuándo el denominador no es cero. El denominador es \(1 - x\), por lo que igualamos a cero:
\[ 1 - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1. \]
Por tanto, la función no está definida en \(x = 1\). El dominio es:
\[ D(f) = \mathbb{R} - \{1\}. \]
Partimos de \[ f(x)=\frac{x^2-4}{1-x}. \] Usamos la regla del cociente para hallar la primera derivada. Sea \[ u(x)=x^2-4,\quad u'(x)=2x, \] y \[ v(x)=1-x,\quad v'(x)=-1. \]
Así, la derivada primera es:
\[ f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}=\frac{2x(1-x)- (x^2-4)(-1)}{(1-x)^2}. \]
Simplificamos el numerador:
\(2x(1-x)=2x-2x^2\) y \(- (x^2-4)(-1)= x^2-4\). Sumando:
\[ 2x-2x^2+x^2-4=2x-x^2-4. \]
Por tanto,
\[ f'(x)=\frac{2x-x^2-4}{(1-x)^2}. \]
A continuación, calculamos la segunda derivada \(f''(x)\):
Sea \[ f'(x)=\frac{N(x)}{D(x)} \quad \text{donde} \quad N(x)=2x-x^2-4 \quad \text{y} \quad D(x)=(1-x)^2. \]
Calculamos \(N'(x)\): \[ N'(x)=2-2x. \]
Y la derivada de \(D(x)=(1-x)^2\) es: \[ D'(x)=2(1-x)(-1)=-2(1-x). \]
Aplicamos la regla del cociente para la segunda derivada: \[ f''(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{(D(x))^2}. \]
Sustituyendo:
\[ f''(x)=\frac{(2-2x)(1-x)^2- (2x-x^2-4)[-2(1-x)]}{(1-x)^4}. \]
Simplificamos paso a paso:
Observamos que \(2-2x=2(1-x)\). Por lo tanto, el primer término es:
\[ (2-2x)(1-x)^2=2(1-x)(1-x)^2=2(1-x)^3. \]
El segundo término es:
\[ - (2x-x^2-4)[-2(1-x)] = 2(1-x)(2x-x^2-4). \]
Así, el numerador es:
\[ 2(1-x)^3 + 2(1-x)(2x-x^2-4)=2(1-x)\Bigl[(1-x)^2+(2x-x^2-4)\Bigr]. \]
Calculamos \((1-x)^2\):
\[ (1-x)^2=1-2x+x^2. \]
Sumamos:
\((1-2x+x^2) + (2x-x^2-4)=1-2x+x^2+2x-x^2-4= (1-4)= -3.\)
Por lo tanto, el numerador es:
\[ 2(1-x)(-3)=-6(1-x). \]
El denominador es \((1-x)^4\), de modo que:
\[ f''(x)=\frac{-6(1-x)}{(1-x)^4}=-\frac{6}{(1-x)^3}. \]
Así, la segunda derivada es:
\[ f''(x)=-\frac{6}{(1-x)^3}. \]
Análisis de la concavidad y puntos de inflexión:
- Para \(x<1\): \(1-x>0\) y, por tanto, \((1-x)^3>0\); así, \(f''(x)=-\frac{6}{(1-x)^3}<0\), lo que indica que la función es cóncava hacia abajo en \((-\infty,1)\).
- Para \(x>1\): \(1-x<0\) y, por lo tanto, \((1-x)^3<0\); así, \(f''(x)=-\frac{6}{(1-x)^3}>0\), lo que indica que la función es cóncava hacia arriba en \((1,\infty)\).
La concavidad cambia al cruzar \(x=1\); sin embargo, dado que \(x=1\) no pertenece al dominio, no existe un punto de inflexión en la función.