MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS. TEOREMA DE WEIRSTRASS
Conocimientos previos
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Máximos y mínimos relativos (Criterio de la derivada n-ésima): Enlace al vídeo
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¿qué son los máximos y mínimos absolutos? ¿Qué dice el teorema de weierstrass?
En matemáticas, los máximos y mínimos absolutos (o extremos absolutos) se refieren a los valores más altos y más bajos que alcanza una función en todo su dominio o en un intervalo específico. Veamos las diferencias con los relativos:
- Máximo absoluto: Es el valor más alto de la función.
- Mínimo absoluto: Es el valor más bajo de la función.
¿Cómo hallo los máximos y mínimos absolutos de una función en un intervalo cerrado [a,b]?
- Hallar los puntos críticos: Calcula la derivada f'(x) e iguala a cero. Encuentra los valores de x dentro del intervalo [a,b] donde la derivada se anula o no existe.
- Evaluar la función: Calcula el valor de f(x) en los siguientes puntos:
- Los puntos críticos hallados en el paso 1.
- Los extremos del intervalo, f(a) y f(b).
- Comparar valores: El mayor de los valores obtenidos será el máximo absoluto, y el menor será el mínimo absoluto.
Importante: Una función continua siempre tiene máximo y mínimo absoluto en un intervalo cerrado (Teorema de Weierstrass).
PROBLEMAS/ejercicios RESUELTOS: vídeos y pdf para descargar
exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii
exámenes de pau de matemáticas ii
EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024
Problema 3
Considere la función:
\[ f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 2x + 3}, \]definida para todo valor de \(x \in \mathbb{R}\).
(a) (0,5 p.) Calcule \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\) y \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\).
(b) (1,5 p.) Determine los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de la función \(f(x)\) y calcule sus extremos relativos (máximos y mínimos relativos).
(c) (0,5 p.) Justifique que la función alcanza sus extremos absolutos (máximo y mínimo absolutos) y calcule el valor de dichos extremos absolutos.
Solución
Apartado (c): Extremos absolutos.
Ya que la función es continua y derivable en todo \(x \in \mathbb{R}\), y además tiene límites finitos cuando \(x \to \pm\infty\), alcanzará sus extremos absolutos en los puntos críticos.
Por lo tanto, la función tiene un mínimo absoluto en \(x = 0\) con valor \(f(0) = 0\), y un máximo absoluto en \(x = 3\) con valor \(f(3) = 3\).
EBAU Castilla y León 2024 - Matemáticas II
Problema E5
(Análisis)
Probar que la ecuación \[ e^{-x}(x-1)=1 \] no tiene solución para \( x \in \mathbb{R} \). (2 puntos)
Solución
Paso 1: Reescribir la ecuación.
Partimos de la ecuación dada:
\[ e^{-x}(x-1)=1. \]Multiplicamos ambos lados por \( e^x \) (que es siempre positivo para todo \( x \in \mathbb{R} \)) y obtenemos:
\[ x-1 = e^x. \]Reordenando, la ecuación es equivalente a:
\[ e^x - x + 1 = 0. \]Paso 2: Definir una función auxiliar y analizar su comportamiento.
Sea \[ g(x)= e^x - x + 1. \] Queremos probar que la ecuación \( g(x)=0 \) no tiene solución real.
Primero, evaluamos \( g(x) \) en \( x=0 \):
\[ g(0)= e^0 - 0 + 1 = 1 + 1 = 2. \]Notamos que \( g(0)=2>0 \).
Ahora, calculemos la derivada de \( g(x) \):
\[ g'(x)= e^x - 1. \]La derivada se anula cuando:
\[ e^x - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad e^x=1 \quad \Longrightarrow \quad x=0. \]Para verificar la naturaleza del punto crítico en \( x=0 \), calculamos la segunda derivada:
\[ g''(x)= e^x. \]Como \( g''(0)= e^0=1>0 \), se concluye que \( x=0 \) es un mínimo local.
Por lo tanto, para todo \( x \in \mathbb{R} \) se tiene:
\[ g(x) \ge g(0)=2>0. \]Paso 3: Conclusión.
Como \( g(x)= e^x - x + 1 \) es mayor o igual que 2 para todo \( x \in \mathbb{R} \), la ecuación \( g(x)=0 \) no tiene solución real.
Por lo tanto, la ecuación original \[ e^{-x}(x-1)=1 \] no tiene solución para \( x \in \mathbb{R} \).
Conclusión Final:
Hemos demostrado que, al transformar la ecuación dada a \( e^x - x + 1=0 \) y definir la función \( g(x)=e^x-x+1 \), se concluye que \( g(x) \ge 2 > 0 \) para todo \( x \in \mathbb{R} \). Por tanto, la ecuación no admite solución real.