MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS. TEOREMA DE WEIRSTRASS

Conocimientos previos

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Máximos y mínimos relativos (Criterio de la derivada n-ésima): Enlace al vídeo

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¿qué son los máximos y mínimos absolutos? ¿Qué dice el teorema de weierstrass?

En matemáticas, los máximos y mínimos absolutos (o extremos absolutos) se refieren a los valores más altos y más bajos que alcanza una función en todo su dominio o en un intervalo específico. Veamos las diferencias con los relativos:

 

  • Máximo absoluto: Es el valor más alto de la función.
  • Mínimo absoluto: Es el valor más bajo de la función.

 

¿Cómo hallo los máximos y mínimos absolutos de una función en un intervalo cerrado [a,b]?

 

  1. Hallar los puntos críticos: Calcula la derivada f'(x) e iguala a cero. Encuentra los valores de x dentro del intervalo [a,b] donde la derivada se anula o no existe.
  2. Evaluar la función: Calcula el valor de f(x) en los siguientes puntos:
    • Los puntos críticos hallados en el paso 1.
    • Los extremos del intervalo, f(a) y f(b).
  3. Comparar valores: El mayor de los valores obtenidos será el máximo absoluto, y el menor será el mínimo absoluto.

 

Importante: Una función continua siempre tiene máximo y mínimo absoluto en un intervalo cerrado (Teorema de Weierstrass).

PROBLEMAS/ejercicios RESUELTOS: vídeos y pdf para descargar

exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii

      exámenes de pau de matemáticas ii

      Problema 3 - Función f(x)

      EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024

      Problema 3

      Considere la función:

      \[ f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 2x + 3}, \]

      definida para todo valor de \(x \in \mathbb{R}\).

      (a) (0,5 p.) Calcule \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\) y \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\).

      (b) (1,5 p.) Determine los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de la función \(f(x)\) y calcule sus extremos relativos (máximos y mínimos relativos).

      (c) (0,5 p.) Justifique que la función alcanza sus extremos absolutos (máximo y mínimo absolutos) y calcule el valor de dichos extremos absolutos.

      Solución

      Apartado (c): Extremos absolutos.

      Ya que la función es continua y derivable en todo \(x \in \mathbb{R}\), y además tiene límites finitos cuando \(x \to \pm\infty\), alcanzará sus extremos absolutos en los puntos críticos.

      Por lo tanto, la función tiene un mínimo absoluto en \(x = 0\) con valor \(f(0) = 0\), y un máximo absoluto en \(x = 3\) con valor \(f(3) = 3\).

      Problema E5 - Análisis

      EBAU Castilla y León 2024 - Matemáticas II

      Problema E5

      (Análisis)

      Probar que la ecuación \[ e^{-x}(x-1)=1 \] no tiene solución para \( x \in \mathbb{R} \). (2 puntos)

      Solución

      Paso 1: Reescribir la ecuación.

      Partimos de la ecuación dada:

      \[ e^{-x}(x-1)=1. \]

      Multiplicamos ambos lados por \( e^x \) (que es siempre positivo para todo \( x \in \mathbb{R} \)) y obtenemos:

      \[ x-1 = e^x. \]

      Reordenando, la ecuación es equivalente a:

      \[ e^x - x + 1 = 0. \]

      Paso 2: Definir una función auxiliar y analizar su comportamiento.

      Sea \[ g(x)= e^x - x + 1. \] Queremos probar que la ecuación \( g(x)=0 \) no tiene solución real.

      Primero, evaluamos \( g(x) \) en \( x=0 \):

      \[ g(0)= e^0 - 0 + 1 = 1 + 1 = 2. \]

      Notamos que \( g(0)=2>0 \).

      Ahora, calculemos la derivada de \( g(x) \):

      \[ g'(x)= e^x - 1. \]

      La derivada se anula cuando:

      \[ e^x - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad e^x=1 \quad \Longrightarrow \quad x=0. \]

      Para verificar la naturaleza del punto crítico en \( x=0 \), calculamos la segunda derivada:

      \[ g''(x)= e^x. \]

      Como \( g''(0)= e^0=1>0 \), se concluye que \( x=0 \) es un mínimo local.

      Por lo tanto, para todo \( x \in \mathbb{R} \) se tiene:

      \[ g(x) \ge g(0)=2>0. \]

      Paso 3: Conclusión.

      Como \( g(x)= e^x - x + 1 \) es mayor o igual que 2 para todo \( x \in \mathbb{R} \), la ecuación \( g(x)=0 \) no tiene solución real.

      Por lo tanto, la ecuación original \[ e^{-x}(x-1)=1 \] no tiene solución para \( x \in \mathbb{R} \).

      Conclusión Final:

      Hemos demostrado que, al transformar la ecuación dada a \( e^x - x + 1=0 \) y definir la función \( g(x)=e^x-x+1 \), se concluye que \( g(x) \ge 2 > 0 \) para todo \( x \in \mathbb{R} \). Por tanto, la ecuación no admite solución real.