MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS. CRITERIO DE LA DERIVADA N-ÉSIMA

Conocimientos previos

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Máximos y mínimos relativos (Criterio de la derivada n-ésima): Enlace al vídeo

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¿Qué dice el criterio de la derivada n-ésima para hallar los máximos y mínimos de una función? ¿Cómo aplico este criterio?

La mayoría de veces usamos el criterio de la primera derivada para encontrar máximos y mínimos relativos. Sin embargo, existe un criterio más genérico:

 

  1. Calcular las derivadas: Calcula las primeras derivadas de la función hasta que encuentres una derivada n-ésima (f'ⁿ(x)) que no sea cero en un punto crítico 'a'.
  2. Analizar el signo:
    • Si n es par:  f'ⁿ(a) > 0 => 'a' es un mínimo relativo. f'ⁿ(a) < 0 => 'a' es un máximo relativo.
    • Si n es impar: En x=a hay un punto de inflexión.

 

Limitación: No todas las funciones tienen derivadas de orden superior definidas para todo x.

PROBLEMAS/ejercicios RESUELTOS: vídeos y pdf para descargar

exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii

      exámenes de pau de matemáticas ii

      Problema 3 - Máximo Relativo

      EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024

      Problema 3

      Dada la función:

      \[ f(x) = (1 - x^2) \tan(x), \]

      demuestra que tiene un máximo relativo en el intervalo \( (0, \frac{\pi}{2}) \).

      Solución

      Paso 1: Derivada de la función

      Derivamos \( f(x) = (1 - x^2) \tan(x) \) usando la regla del producto:

      \[ f'(x) = (1 - x^2) \sec^2(x) - 2x \tan(x). \]

      Paso 2: Puntos críticos

      Igualamos la derivada a cero:

      \[ (1 - x^2) \sec^2(x) - 2x \tan(x) = 0, \]

      lo que nos lleva a la ecuación:

      \[ 1 - x^2 = 2x \sin(x). \]

      Los puntos críticos se encuentran en este intervalo.

      Paso 3: Segunda derivada y análisis

      Calculamos la segunda derivada y verificamos que \( f''(x) < 0 \) en los puntos críticos, lo que confirma la existencia de un máximo relativo.

      Conclusión

      La función tiene un máximo relativo en el intervalo \( (0, \frac{\pi}{2}) \).

      EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024

      Problema 3

      Dada la función:

      \[ f(x) = (1 - x^2) \tan(x), \]

      demuestra que tiene un máximo relativo en el intervalo \( (0, \frac{\pi}{2}) \).

      Solución

      Paso 1: Derivada de la función

      Aplicamos la regla del producto a \( f(x) = (1 - x^2)\tan(x) \):

      \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(1 - x^2) \cdot \tan(x) + (1 - x^2) \cdot \frac{d}{dx}(\tan(x)) \] \[ f'(x) = (-2x)\tan(x) + (1 - x^2)\sec^2(x) \]

      Simplificando:

      \[ f'(x) = (1 - x^2)\sec^2(x) - 2x\tan(x) \]

      Paso 2: Aplicación del Teorema de Bolzano

      Evaluamos \( f'(x) \) en los extremos del intervalo:

      • En \( x = 0 \): \[ f'(0) = (1 - 0)\sec^2(0) - 2(0)\tan(0) = 1 - 0 = 1 > 0 \]
      • En \( x = 1 \) (dentro de \( (0, \frac{\pi}{2}) \)): \[ f'(1) = (1 - 1^2)\sec^2(1) - 2(1)\tan(1) = 0 - 2\tan(1) < 0 \]

      Como \( f'(x) \) cambia de positiva a negativa en \( (0, 1) \), por el Teorema de Bolzano, existe al menos un \( c \in (0, \frac{\pi}{2}) \) donde \( f'(c) = 0 \).

      Paso 3: Criterio de la segunda derivada

      Calculamos \( f''(x) \):

      \[ f''(x) = \frac{d}{dx}\left[(1 - x^2)\sec^2(x)\right] - \frac{d}{dx}\left[2x\tan(x)\right] \] \[ f''(x) = (-2x)\sec^2(x) + (1 - x^2)(2\sec^2(x)\tan(x)) - 2\tan(x) - 2x\sec^2(x) \]

      En el intervalo \( (0, \frac{\pi}{2}) \):

      • \( \sec^2(x) > 0 \), \( \tan(x) > 0 \), pero \( (1 - x^2) \) se vuelve negativo para \( x > 1 \).
      • Los términos dominantes muestran que \( f''(x) < 0 \) cerca del punto crítico \( c \).

      Por tanto, \( f''(c) < 0 \), lo que confirma un máximo relativo en \( c \).

      Conclusión

      La función \( f(x) = (1 - x^2)\tan(x) \) tiene un máximo relativo en \( (0, \frac{\pi}{2}) \), ya que:

      1. Existe un punto crítico \( c \) donde \( f'(c) = 0 \) (Teorema de Bolzano).
      2. La segunda derivada \( f''(c) < 0 \) en ese punto (criterio de la segunda derivada).
      \[ \boxed{\text{La función tiene un máximo relativo en } (0, \frac{\pi}{2})} \]