MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS. CRITERIO DE LA DERIVADA PRIMERA

Conocimientos previos

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Máximos y mínimos relativos (Criterio de la primera derivada): Enlace al vídeo

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¿cómo hallo los máximos y mínimos de una función?

La monotonía en matemáticas se refiere al comportamiento de una función cuando esta crece o decrece. Para analizar la monotonía, usamos la derivada de la función:

  • Función creciente: Si la derivada es positiva en un intervalo, la función original es creciente en ese intervalo
  • Función decreciente: Si la derivada es negativa en un intervalo, la función original es decreciente en ese intervalo.

 

Pasos para estudiar la monotonía:

  1. Calcular la derivada de la función (f'(x)).
  2. Igualar la derivada a cero y resolver la ecuación (f'(x) = 0). Los puntos obtenidos son los puntos críticos.
  3. Estudiar el signo de la derivada en los intervalos delimitados por los puntos críticos y los puntos donde la función no está definida.
  4. Determinar si la función es creciente o decreciente en cada intervalo.

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exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii

      exámenes de pau de matemáticas ii

      Problema 3 - PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024

      PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024

      Pregunta 3.

      Se considera la función \[ f(x) = \frac{x^2 - 4}{1 - x}. \]

      (a) [1 punto] Calcula el dominio de la función \(f\) y sus asíntotas.

      (b) [1 punto] Halla, en caso de que existan, los máximos y mínimos y los puntos de inflexión. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

      (c) [0,5 puntos] Utilizando los apartados anteriores, realiza un esbozo de la gráfica de \(f\).

      Solución

      Apartado b: Análisis de extremos, intervalos de crecimiento y concavidad

      La función dada es:

      \[ f(x) = \frac{x^2 - 4}{1 - x}. \]

      Para calcular el dominio, debemos determinar para qué valores de \(x\) la función está definida, es decir, cuándo el denominador no es cero. El denominador es \(1 - x\), por lo que igualamos a cero:

      \[ 1 - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1. \]

      Por tanto, la función no está definida en \(x = 1\). El dominio es:

      \[ D(f) = \mathbb{R} - \{1\}. \]

      Partimos de \[ f(x)=\frac{x^2-4}{1-x}. \] Usamos la regla del cociente para hallar la primera derivada. Sea \[ u(x)=x^2-4,\quad u'(x)=2x, \] y \[ v(x)=1-x,\quad v'(x)=-1. \]

      Así, la derivada primera es:

      \[ f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}=\frac{2x(1-x)- (x^2-4)(-1)}{(1-x)^2}. \]

      Simplificamos el numerador:

      \(2x(1-x)=2x-2x^2\) y \(- (x^2-4)(-1)= x^2-4\). Sumando:

      \[ 2x-2x^2+x^2-4=2x-x^2-4. \]

      Por tanto,

      \[ f'(x)=\frac{2x-x^2-4}{(1-x)^2}. \]

      Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, evaluamos \(f'(x)\) en dos puntos:

      • En \(x=0\): \[ f'(0)=\frac{2\cdot0-0^2-4}{(1-0)^2}=\frac{-4}{1}=-4. \]
      • En \(x=2\): \[ f'(2)=\frac{2\cdot2-2^2-4}{(1-2)^2}=\frac{4-4-4}{1}=-4. \]

      Así, \(f'(0)=-4\) y \(f'(2)=-4\). Esto indica que la función es decreciente en todo su dominio.

      Problema 3 - Máximo Relativo

      EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024

      Problema 3

      Dada la función:

      \[ f(x) = (1 - x^2) \tan(x), \]

      demuestra que tiene un máximo relativo en el intervalo \( (0, \frac{\pi}{2}) \).

      Solución

      Paso 1: Derivada de la función

      Calculamos la derivada de \( f(x) = (1 - x^2)\tan(x) \) usando la regla del producto:

      \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(1 - x^2) \cdot \tan(x) + (1 - x^2) \cdot \frac{d}{dx}(\tan(x)) \] \[ f'(x) = (-2x)\tan(x) + (1 - x^2)\sec^2(x) \]

      Simplificando:

      \[ f'(x) = (1 - x^2)\sec^2(x) - 2x\tan(x) \]

      La derivada \( f'(x) \) es una función continua en el intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}) \), ya que tanto \( \tan(x) \) como \( \sec^2(x) \) son continuas en este intervalo.

      Paso 2: Evaluación de la derivada en puntos clave

      Evaluamos \( f'(x) \) en \( x = 0 \) y en \( x = 1 \):

      • En \( x = 0 \): \[ f'(0) = (1 - 0)\sec^2(0) - 2(0)\tan(0) = 1 - 0 = 1 > 0 \]
      • En \( x = 1 \): \[ f'(1) = (1 - 1^2)\sec^2(1) - 2(1)\tan(1) = 0 - 2\tan(1) \]

        Sabemos que tan(1) > 0 ,porque 1 pertenece al primer cuadrante, por lo que:

        \[ f'(1) = -2 \tan(1) \ < 0 \]

      La derivada en \( x = 1 \) es negativa, lo que sugiere que la función \( f(x) \) pasa de ser creciente a decreciente en el intervalo.

      Paso 3: Comportamiento de la derivada y máximo relativo

      Analizamos el comportamiento de \( f'(x) \) en el intervalo:

      • En \( x = 0 \), \( f'(0) = 1 > 0 \), lo que indica que la función \( f(x) \) es creciente en ese punto.
      • En \( x = 1 \), \( f'(1) < 0 \), lo que indica que la función \( f(x) \) es decreciente en este punto.

      Como \( f'(x) \) pasa de ser positiva a negativa, y se anula en algún punto antes de \( x = 1 \), esto implica que \( f(x) \) tiene un máximo relativo en el intervalo.

      Conclusión

      La función \( f(x) = (1 - x^2)\tan(x) \) tiene un máximo relativo en el intervalo \( (0, \frac{\pi}{2}) \), ya que:

      1. \( f'(x) \) es continua en [0,1] y cambia de positiva a negativa en este intervalo, por tanto se anula en al menos un punto de dicho intervalo\( c \) (Teorema de Bolzano).
      2. El cambio de signo de \( f'(x) \) de positivo a negativo indica que, en dicho punto, \( f(x) \) tiene un máximo relativo.

        3. Así pues, La función tiene un máximo relativo en [0,1] y por tanto también en \( (0, \frac{\pi}{2}) \)

      Problema 3 - Función f(x)

      EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024

      Problema 3

      Considere la función:

      \[ f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 2x + 3}, \]

      definida para todo valor de \(x \in \mathbb{R}\).

      (a) (0,5 p.) Calcule \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\) y \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\).

      (b) (1,5 p.) Determine los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de la función \(f(x)\) y calcule sus extremos relativos (máximos y mínimos relativos).

      (c) (0,5 p.) Justifique que la función alcanza sus extremos absolutos (máximo y mínimo absolutos) y calcule el valor de dichos extremos absolutos.

      Solución

      Apartado (b): Dominio, derivada de la función y análisis de extremos relativos.

      Dominio: La función \(f(x)\) está definida para todo \(x \in \mathbb{R}\), ya que el denominador \(x^2 - 2x + 3\) no se anula para ningún valor de \(x\). Esto se confirma resolviendo la ecuación cuadrática:

      \[ x^2 - 2x + 3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \Delta = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot3 = 4 - 12 = -8. \]

      El discriminante es negativo, lo que indica que no tiene soluciones reales. Por lo tanto, el dominio de \(f(x)\) es \(\mathbb{R}\).

      Derivada primera:

      Derivamos \(f(x)\) usando la regla del cociente:

      \[ f'(x) = \frac{4x(x^2 - 2x + 3) - 2x^2(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 3)^2} = \frac{4x(3 - x)}{(x^2 - 2x + 3)^2}. \]

      La derivada se anula cuando \(4x(3 - x) = 0\), lo que nos da dos puntos críticos: \(x = 0\) y \(x = 3\).

      Tabla de signos de la derivada:

      Intervalo Signo de \(f'(x)\) Comportamiento de \(f(x)\)
      \((- \infty, 0)\) \(-\) (negativo) Decreciente
      \((0, 3)\) \(+\) (positivo) Creciente
      \((3, + \infty)\) \(-\) (negativo) Decreciente

      Conclusión:

      • \(f(x)\) es decreciente en \((- \infty, 0)\).
      • \(f(x)\) es creciente en \((0, 3)\).
      • \(f(x)\) es decreciente en \((3, + \infty)\).

      Por lo tanto, \(x = 0\) es un mínimo relativo, y \(x = 3\) es un máximo relativo.

      Calculamos los valores de los extremos:

      \[ f(0) = 0, \quad f(3) = 3. \]