Continuidad en un punto y en un intervalo

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¿Qué significa que una función es continua? ¿Cómo estudio la continuidad de una función?

Intuitivamente, una función continua es aquella cuya gráfica puedes dibujar sin levantar el lápiz del papel. Es decir, no hay "saltos" ni "agujeros" en la curva.

 

Formalmente, una función f es continua en un punto x=a si se cumplen las siguientes tres condiciones:

  • La función está definida en el punto: Esto significa que f(a) existe.
  • Existe el límite de la función en el punto: El límite de f(x) cuando x tiende a a existe y es finito.
  • El límite es igual al valor de la función en el punto: El límite de f(x) cuando x tiende a a es igual a f(a).

 

Ejemplo de función continua:

La función f(x) = x² es continua en todo su dominio (todos los números reales). Si dibujas su gráfica, verás que es una parábola suave y sin interrupciones.

 

Ejemplo de función discontinua:

La función f(x) = 1/x no es continua en x=0, ya que no está definida en ese punto.

 

Definición de función continua en un intervalo

 

Una función f(x) es continua en un intervalo I si es continua en cada punto de I. Dependiendo del tipo de intervalo, tenemos dos casos:

 

  • Intervalo abierto (a,b): f(x) es continua en (a,b) si es continua en cada punto dentro del intervalo, es decir, en todos los x∈(a,b).

  • Intervalo cerrado [a,b]: f(x) es continua en [a,b] si además de ser continua en los puntos interiores, los límites laterales en a por la derecha y en b por la izquierda deben coincidir con los valores de la función en esos puntos.

 

En otras palabras, una función es continua en un intervalo si no presenta discontinuidades ni "saltos" en todo el intervalo, y si los límites laterales en los extremos de un intervalo cerrado coinciden con los valores de la función en esos puntos.

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exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii

    exámenes de pau de matemáticas ii

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    Considera la función continua definida por:

    f(x)=(xcos(x)-asen(x))/x^3, si x<0; f(x) = bcos(x)-1, si x≥0

    Calcula a y b.