INTEGRACIón POR PARTES

Conocimientos previos

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¿Cuál es la fórmula de integración por partes? ¿cómo integro por partes?

La integración por partes es un método fundamental en el cálculo integral que se utiliza para integrar el producto de dos funciones. Se basa en la regla del producto de la derivación y permite obtener la integral de un producto de funciones a partir de la integral de otras funciones más simples.

 

Es especialmente útil para integrar productos de funciones trigonométricas inversas (Arco seno, arco cose, arco tangente, arco cotangente), logarítmicas, potenciales, exponenciales y trigonométricas (senos, cosenos, etc) (A esto le llamamos la regla ALPES).

 

Su fórmula se deduce de la diferencial del producto: d(uv)=vdu+udv -> udv =d(uv)-vdu e integrando en ambos lados de la igualdad:

∫udv=uv-∫vdu

 

Esta fórmula tiene una regla mnemotécnica que dice: Solo Un Dia Vi (=) Un Valiente (-) Soldadito Vestido De Uniforme, donde las iniciales de las palabras nos permiten escribir la fórmula (solo tenemos que recordar donde escribir el "=" y el "-").

PROBLEMAS/ejercicios RESUELTOS: vídeos y pdf para descargar

exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii

      exámenes de pau de matemáticas ii

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      Halla la función f:R->R tal que f''(x)=xcos(x) y cuya gráfica pasa por los puntos (0,π/2) y (π,2π).

       

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      Sea f:R→R la función definida por f(x)=(x^2-3x+5) e^x. Halla la primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (0,5).

      Problema 4 - EBAU Región de Murcia Junio 2024

      EBAU Región de Murcia Junio 2024

      Problema 4

      a) Calcule la siguiente integral indefinida: \[ \int x^2 \sin x\, dx. \]

      b) Determine el área del recinto limitado por el eje \(OX\), las rectas verticales \(x=-\pi/2\) y \(x=\pi/2\), y la gráfica de la función \(f(x)= x^2 \sin x\).

      Solución

      Apartado a: Cálculo de la integral indefinida

      Se resuelve utilizando integración por partes. Sea \(u=x^2\) y \(dv=\sin x\,dx\); de donde se obtiene:

      \(du=2x\,dx\) y \(v=-\cos x\). Por tanto:

      \[ \int x^2 \sin x\,dx = -x^2\cos x + 2\int x\cos x\,dx. \]

      Aplicamos integración por partes a \(\int x\cos x\,dx\) tomando \(u=x\) y \(dv=\cos x\,dx\). Así:

      \(du=dx\) y \(v=\sin x\), y se tiene:

      \[ \int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x. \]

      Reemplazando, la integral queda:

      \[ \int x^2 \sin x\,dx = -x^2\cos x + 2\Bigl(x\sin x + \cos x\Bigr) + C, \]

      es decir:

      \[ \int x^2 \sin x\,dx = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C. \]
      ABAU Galicia Convocatoria ordinaria 2024

      ABAU Galicia Convocatoria ordinaria 2024

      Problema 3

      a) Enuncie los teoremas de Rolle y de Bolzano.

      b) Calcule \( \displaystyle \int x^3 e^{x^2} \, dx \).

      Solución apartado b

      Paso 1: Elección del método

      Al ser el producto de un polinomio por una exponencial usaremos integración por partes. Como el exponente de la exponencial es \(x^2\) dejaremos una \(x\) de \(x^3\) con la exponencial para poder integrar la expresión resultante y definiremos:

      \[ \begin{cases} u = x^2 \quad \Rightarrow \quad du = 2x \, dx, \\ dv = x e^{x^2} \, dx \quad \Rightarrow \quad v = \frac{1}{2} e^{x^2}. \end{cases} \]

      Paso 2: Aplicamos la fórmula de integración por partes

      La fórmula de integración por partes es \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \):

      \[ \int x^3 e^{x^2} \, dx = \frac{x^2}{2} e^{x^2} - \int \frac{1}{2} e^{x^2} \cdot 2x \, dx \]

      Simplificando:

      \[ = \frac{x^2}{2} e^{x^2} - \int x e^{x^2} \, dx \]

      Paso 3: Resolvemos la integral restante

      Para \( \int x e^{x^2} \, dx \), hacemos \( w = x^2 \), \( dw = 2x \, dx \):

      \[ \int x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \]

      Paso 4: Combinamos los resultados

      \[ \int x^3 e^{x^2} \, dx = \frac{x^2}{2} e^{x^2} - \frac{1}{2} e^{x^2} + C = \frac{e^{x^2}}{2}(x^2 - 1) + C \]

      Verificación

      Derivamos el resultado para confirmar:

      \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{e^{x^2}}{2}(x^2 - 1) \right) = x^3 e^{x^2} \quad \checkmark \]

      Problema 4 - Función f(x)

      EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024

      Problema 4

      Considere la función:

      \[ f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}, \]

      definida para todo valor de \(x > 0\).

      (a) (0,5 p.) Calcule \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\).

      (b) (1,5 p.) Calcule la integral indefinida \( \int f(x) dx \).

      (c) (0,5 p.) Determine el valor de \(a > 0\) para el cual se cumple que:

      \[ \int_1^a f(x) dx = 4. \]

      Solución

      Apartado (b): Cálculo de la integral indefinida.

      Resolvemos la integral por partes. Tomamos:

      \[ u = \ln(x), \quad dv = \frac{1}{\sqrt{x}}dx, \]

      lo que nos da:

      \[ du = \frac{1}{x}dx, \quad v = 2\sqrt{x}. \]

      Aplicamos la fórmula de integración por partes:

      \[ \int \ln(x) \frac{1}{\sqrt{x}}dx = 2\sqrt{x}\ln(x) - \int 2\frac{\sqrt{x}}{x}dx = 2\sqrt{x}\ln(x) - \int \frac{2}{\sqrt{x}}dx = 2\sqrt{x}\ln(x) - 4\sqrt{x}. \]

      Por lo tanto, la integral es:

      \[ \int f(x)dx = 2\sqrt{x}(\ln(x) - 2) + C. \]