TEOREMA DE ROLLE

Conocimientos previos

concepto y ejemplos: vídeo y pdf para descargar

Teorema de Rolle: Enlace al vídeo

PDF del vídeo: Descargar PDF

¿Qué dice el teorema de rolle? ¿cómo aplico el teorema de rolle?

El teorema de Rolle es un teorema fundamental del cálculo diferencial que establece una relación entre la continuidad, la derivabilidad y el valor de una función en un intervalo cerrado. En otras palabras, nos dice que si una función cumple ciertas condiciones en un intervalo, entonces existe un punto dentro de ese intervalo donde la derivada de la función se anula.

 

Enunciado del teorema:

Sea una función definida en el intervalo cerrado que cumple las siguientes condiciones:

  1. es continua en todo el intervalo .
  2. es diferenciable en todo el intervalo abierto .
  3. .

Entonces, existe al menos un punto tal que .

 

Explicación:

Imagina una función que representa la altura de una montaña sobre un terreno. El teorema de Rolle nos dice que si la montaña tiene la misma altura en sus dos extremos (es decir, ), entonces debe haber al menos un punto en la ladera (dentro del intervalo ) donde la pendiente de la montaña es cero (es decir, ). En otras palabras, en algún punto del recorrido, la montaña no sube ni baja, sino que se encuentra en un punto de equilibrio. Esto es lógico dado que al principio la pendiente sería positiva (subiríamos por la ladera) y al final negativa (bajaríamos por la ladera) por tanto debe haber un punto entre los dos extremos donde la pendiente sea nula, obviamente en la cima de la montaña.

PROBLEMAS/ejercicios RESUELTOS: vídeos y pdf para descargar

exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii

      exámenes de pau de matemáticas ii

        PAU Madrid Convocatoria Ordinaria 2024 - Matemáticas II

        PAU Madrid Convocatoria Ordinaria 2024

        Problema A2

        Sea la función \[ f(x)=x^4+\pi x^3+\pi^2x^2+\pi^3x+\pi^4. \]

        Se pide:

        • (a) [0.5 puntos] Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=\pi\).
        • (b) [1 punto] Probar que \(f\) tiene, al menos, un punto con derivada nula en el intervalo \((-\pi,0)\) utilizando, justificadamente, el teorema de Rolle, y volver a probar la misma afirmación utilizando, adecuadamente, el teorema de Bolzano.
        • (c) [1 punto] Sea \(g(x)=f(-x)\); calcular el área entre las gráficas de \(f(x)\) y \(g(x)\) en el intervalo \([0,\pi]\).

        Solución

        Apartado (b): Aplicación de los teoremas de Rolle y Bolzano

        Para aplicar el teorema de Rolle, buscamos dos puntos \(a\) y \(b\) en el intervalo \([-\pi,0]\) tales que \(f(a)=f(b)\).

        Evaluamos \(f\) en \(x=-\pi\):

        \[ f(-\pi)=(-\pi)^4+\pi(-\pi)^3+\pi^2(-\pi)^2+\pi^3(-\pi)+\pi^4. \]

        Recordando que \((-\pi)^4=\pi^4\) y \((-\pi)^3=-\pi^3\) y \((-\pi)^2=\pi^2\), se tiene:

        \[ f(-\pi)=\pi^4-\pi\pi^3+\pi^2\pi^2-\pi^3\pi+\pi^4=\pi^4-\pi^4+\pi^4-\pi^4+\pi^4=\pi^4. \]

        Además, \(f(0)=0^4+\pi\cdot0^3+\pi^2\cdot0^2+\pi^3\cdot0+\pi^4=\pi^4\).

        Así, \(f(-\pi)=f(0)=\pi^4\). Dado que \(f\) es continua y diferenciable en \([-\pi,0]\), por el teorema de Rolle existe al menos un \(c\) en \((-\pi,0)\) tal que:

        \[ f'(c)=0. \]

        Alternativamente, para aplicar el teorema de Bolzano, consideramos la continuidad de \(f'\). Calculamos:

        \(f'(x)=4x^3+3\pi x^2+2\pi^2x+\pi^3\).

        Evaluamos en \(x=-\pi\):

        \[ f'(-\pi)=4(-\pi)^3+3\pi(-\pi)^2+2\pi^2(-\pi)+\pi^3. \]

        Esto es:

        • \(4(-\pi)^3=4(-\pi^3)=-4\pi^3\).
        • \(3\pi(-\pi)^2=3\pi(\pi^2)=3\pi^3\).
        • \(2\pi^2(-\pi)=-2\pi^3\).
        • \(\pi^3\) se mantiene.

        Sumando: \(-4\pi^3+3\pi^3-2\pi^3+\pi^3=(-2)\pi^3\). Así, \(f'(-\pi)=-2\pi^3\) (negativo).

        En \(x=0\):

        \[ f'(0)=4\cdot0^3+3\pi\cdot0^2+2\pi^2\cdot0+\pi^3=\pi^3>0. \]

        Por el teorema de Bolzano, dado que \(f'\) es continua y cambia de signo en el intervalo \([-\pi,0]\), existe al menos un \(c\) en \((-\pi,0)\) tal que \(f'(c)=0\).