TEOREMA DE ROLLE
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¿Qué dice el teorema de rolle? ¿cómo aplico el teorema de rolle?
El teorema de Rolle es un teorema fundamental del cálculo diferencial que establece una relación entre la continuidad, la derivabilidad y el valor de una función en un intervalo cerrado. En otras palabras, nos dice que si una función cumple ciertas condiciones en un intervalo, entonces existe un punto dentro de ese intervalo donde la derivada de la función se anula.
Enunciado del teorema:
Sea una función definida en el intervalo cerrado que cumple las siguientes condiciones:
- es continua en todo el intervalo .
- es diferenciable en todo el intervalo abierto .
- .
Entonces, existe al menos un punto tal que .
Explicación:
Imagina una función que representa la altura de una montaña sobre un terreno. El teorema de Rolle nos dice que si la montaña tiene la misma altura en sus dos extremos (es decir, ), entonces debe haber al menos un punto en la ladera (dentro del intervalo ) donde la pendiente de la montaña es cero (es decir, ). En otras palabras, en algún punto del recorrido, la montaña no sube ni baja, sino que se encuentra en un punto de equilibrio. Esto es lógico dado que al principio la pendiente sería positiva (subiríamos por la ladera) y al final negativa (bajaríamos por la ladera) por tanto debe haber un punto entre los dos extremos donde la pendiente sea nula, obviamente en la cima de la montaña.