TEOREMA DEL VALOR MEDIO

Conocimientos previos

• Continuidad y tipos de discontinuidades.
• Derivación.

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¿Qué dice el teorema del valor medio? ¿Cómo uso el teorema del valor medio?

El teorema del valor medio, también conocido como teorema de Lagrange o teorema de los incrementos finitos, es un teorema fundamental del cálculo diferencial que establece una relación entre la continuidad, la derivabilidad y el valor de una función en un intervalo cerrado. En otras palabras, nos dice que si una función cumple ciertas condiciones en un intervalo, entonces existe un punto dentro de ese intervalo donde la derivada de la función es igual a la razón del cambio total de la función entre los extremos del intervalo.

Enunciado del teorema:

Sea f una función definida en el intervalo cerrado [a,b] que cumple las siguientes condiciones:

1. f es continua en todo el intervalo [a,b].
2. f es diferenciable en todo el intervalo abierto (a,b).

Entonces, existe al menos un punto c∈(a,b) tal que:

f′(c)=(f(b)−f(a))/(b-a)

​

Explicación:

Imagina una función f que representa la distancia recorrida por un móvil a lo largo del tiempo. El teorema del valor medio nos dice que si conocemos la distancia total recorrida por el móvil entre dos instantes de tiempo (es decir, f(b)−f(a)) y el intervalo de tiempo transcurrido (es decir, b−a), entonces existe al menos un instante de tiempo dentro de ese intervalo (c∈(a,b)) en el que la velocidad del móvil (es decir, f′(c)) es igual a la velocidad promedio durante todo el recorrido.

Interpretación geométrica:

El teorema del valor medio también se puede interpretar geométricamente. La razón del cambio total de la función entre los extremos del intervalo (f(b)−f(a))/(b−a)) representa la pendiente de la secante que une los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)). El teorema nos dice que existe al menos un punto c dentro del intervalo donde la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en ese punto (f′(c)) es igual a la pendiente de la secante. En otras palabras, existe un punto donde la recta tangente a la gráfica es paralela a la secante que une los extremos del intervalo.

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