Producto mixto de tres vectores
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¿Qué es el producto mixto? ¿Cómo calculo el producto mixto?
¿Qué es el producto mixto?
El producto mixto, es una operación matemática que se realiza entre tres vectores en el espacio tridimensional. Combina el producto escalar con el producto vectorial para obtener un número real como resultado.
¿Cómo calculo el producto mixto?
Sean u, v y w tres vectores en R³, el producto mixto de estos vectores se define como: [u, v, w] = u • (v x w) donde:
- • representa el producto escalar.
- x representa el producto vectorial.
En otras palabras, el producto mixto se calcula primero realizando el producto vectorial entre dos de los vectores y luego tomando el producto escalar del resultado con el tercer vector.
También se puede calcular mediante el determinante que tiene en la primera fila las componentes del primer vector, en la segunda fila las componentes del segundo vector y en la tercera fila las componentes del tercer vector.
¿Qué información me da el producto mixto?
Si el producto mixto de tres vectores es nulo podemos concluir que los vectores son coplanarios, esto es, están contenidos en un plano, por lo que uno cualquiera de ellos se puede escribir como combinación lineal de los otros dos. En caso contrario no son coplanarios y por tanto son linealmente independientes.
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exámenes de pau de matemáticas ii
PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024
Pregunta 6.
Se consideran los puntos \[ A=(1,1,1),\quad B=(1,0,2),\quad C=(-1,1,3),\quad \text{y}\quad D=(-1,0,1) \] de \(\mathbb{R}^3\).
(a) [0.75 p.] Estudia si existe un plano que contenga a los cuatro puntos.
(b) [0.75 p.] Calcula la recta \(r\) que pasa por \(D\) y es perpendicular al plano \(\pi\) que contiene a \(A\), \(B\) y \(C\).
(c) [1 p.] Calcula el punto \(P\) de intersección de \(r\) y \(\pi\).
Solución
Apartado a: Comprobación de la coplanaridad de los puntos
Para determinar si existe un único plano que contenga a los cuatro puntos, estudiamos la coplanaridad de \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) calculando el producto mixto de los vectores \( \overrightarrow{AB}\), \( \overrightarrow{AC}\) y \( \overrightarrow{AD}\) (tomando \(A\) como referencia).
Calculamos los vectores:
- \( \overrightarrow{AB}=B-A=(1-1,\; 0-1,\; 2-1)=(0,\;-1,\;1).\)
- \( \overrightarrow{AC}=C-A=(-1-1,\; 1-1,\; 3-1)=(-2,\;0,\;2).\)
- \( \overrightarrow{AD}=D-A=(-1-1,\; 0-1,\; 1-1)=(-2,\;-1,\;0).\)
Formamos la matriz con estos vectores como filas:
\[ M=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\[4mm] -2 & 0 & 2\\[4mm] -2 & -1 & 0 \end{pmatrix}. \]
Calculamos su determinante:
\[ \det(M)= 0\cdot\begin{vmatrix} 0 & 2\\ -1 & 0 \end{vmatrix} - (-1)\cdot\begin{vmatrix} -2 & 2\\ -2 & 0 \end{vmatrix} + 1\cdot\begin{vmatrix} -2 & 0\\ -2 & -1 \end{vmatrix}. \]
Calculamos cada menor:
- \(\begin{vmatrix} 0 & 2\\ -1 & 0 \end{vmatrix} = (0)(0)- (2)(-1)=2.\)
- \(\begin{vmatrix} -2 & 2\\ -2 & 0 \end{vmatrix} = (-2)(0)- (2)(-2)=4.\)
- \(\begin{vmatrix} -2 & 0\\ -2 & -1 \end{vmatrix} = (-2)(-1)- (0)(-2)=2.\)
Sustituyendo:
\(\det(M)= 0\cdot2 - (-1)\cdot4 + 1\cdot2 = 0+4+2=6.\)
Como \(\det(M)\neq 0\), los vectores son linealmente independientes, y por tanto los puntos \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) no son coplanarios. Es decir, no existe un plano que contenga a los cuatro puntos.