DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO PARALELO A ELLA
Conocimientos previos
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¿Cómo hallo la distancia entre una recta y un plano paralelos?
Para hallar la distancia entre una recta y un plano paralelo a ella hallamos un punto de la recta y la distancia de este punto al plano (Distancia de un punto a un plano).
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exámenes de pau de matemáticas ii
- Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria) Ejercicio 8 Apartado b: Enlace al vídeo
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Considera las rectas r≡{y=0 ; 2x-z=0} y s≡{x+y+7=0 ; z=0}
a) Estudia la posición relativa de r y s.
b) Calcula la ecuación del plano paralelo a r y s que equidista de ambas rectas.
EBAU Región de Murcia Junio 2024
Problema 5
Considere el plano \(p\) de ecuación \[ x+y+z=-1, \] y la recta \(r\) dada por \[ \frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{0}. \]
a) Compruebe que el plano \(p\) y la recta \(r\) son paralelos. b) Calcule la distancia de la recta \(r\) al plano \(p\). c) Calcule la ecuación general (o implícita) del plano que contiene a la recta \(r\) y es perpendicular al plano \(p\).
Solución
Apartado b: Cálculo de la distancia entre la recta \(r\) y el plano \(p\)
Como \(r\) es paralela a \(p\), la distancia \(d\) es la distancia de cualquier punto de \(r\) al plano \(p\).
Tomamos el punto \(P(0,1,0)\) de \(r\). La fórmula de la distancia desde un punto \((x_0,y_0,z_0)\) a un plano \(ax+by+cz+d=0\) es:
\[ d=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. \]Para \(p\), escribimos la ecuación como:
\[ x+y+z+1=0,\quad \text{donde } a=1,\; b=1,\; c=1,\; d=1. \]Evaluando en \(P(0,1,0)\):
\[ d=\frac{|1\cdot0+1\cdot1+1\cdot0+1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{|0+1+0+1|}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}. \]