Paso 1: Hallar el determinante de la matriz ampliada y determinar para qué valores de \(a\) se anula.

Consideramos el siguiente sistema de ecuaciones:

\[ \begin{aligned} (1)&\quad ax + y + z = a^2,\\[1mm] (2)&\quad x - y + z = 1,\\[1mm] (3)&\quad 3x - y - z = 1,\\[1mm] (4)&\quad 6x - y + z = 3a. \end{aligned} \]

La matriz de coeficientes (tamaño \(4 \times 3\)) es:

\[ A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1\\[1mm] 1 & -1 & 1\\[1mm] 3 & -1 & -1\\[1mm] 6 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \]

y el vector de términos independientes es:

\[ b = \begin{pmatrix} a^2\\[1mm] 1\\[1mm] 1\\[1mm] 3a \end{pmatrix}. \]

La matriz ampliada es:

\[ M = [A\,|\,b] = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & a^2\\[1mm] 1 & -1 & 1 & 1\\[1mm] 3 & -1 & -1 & 1\\[1mm] 6 & -1 & 1 & 3a \end{pmatrix}. \]

Procedemos a realizar las operaciones elementales necesarias para calcular \(\det(M)\):

1. Intercambio de filas: Intercambiamos la primera y la segunda fila para obtener un 1 en la posición (1,1). Este intercambio cambia el signo del determinante.

   La matriz resultante es:

   \[ M_1 = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\[1mm] a & 1 & 1 & a^2\\[1mm] 3 & -1 & -1 & 1\\[1mm] 6 & -1 & 1 & 3a \end{pmatrix}. \]

2. Eliminación en la primera columna: Se anulan los elementos debajo de la primera entrada utilizando la fila 1.

   • Para la fila 2: \(R_2 \to R_2 - a\,R_1\). Cálculo:
     \(a - a\cdot1 = 0,\) \(1 - a\cdot(-1) = 1+a,\) \(1 - a\cdot1 = 1-a,\) \(a^2 - a\cdot1 = a^2-a.\)
     La nueva fila 2 es: \((0,\;1+a,\;1-a,\;a^2-a).\)
   • Para la fila 3: \(R_3 \to R_3 - 3\,R_1\). Cálculo:
     \(3 - 3\cdot1 = 0,\) \(-1 - 3\cdot(-1) = 2,\) \(-1 - 3\cdot1 = -4,\) \(1 - 3\cdot1 = -2.\)
     La nueva fila 3 es: \((0,\;2,\;-4,\;-2).\)
   • Para la fila 4: \(R_4 \to R_4 - 6\,R_1\). Cálculo:
     \(6 - 6\cdot1 = 0,\) \(-1 - 6\cdot(-1) = 5,\) \(1 - 6\cdot1 = -5,\) \(3a - 6\cdot1 = 3a-6.\)
     La nueva fila 4 es: \((0,\;5,\;-5,\;3a-6).\)

   La matriz transformada es:

   \[ M_2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\[1mm] 0 & 1+a & 1-a & a^2-a\\[1mm] 0 & 2 & -4 & -2\\[1mm] 0 & 5 & -5 & 3a-6 \end{pmatrix}. \]

3. Expansión del determinante: Dado que la primera columna de las filas 2, 3 y 4 es cero, expandimos el determinante a lo largo de la primera columna.

   Se tiene:

   \[ \det(M_2) = 1\cdot \det(N), \] donde \(N\) es la submatriz \(3 \times 3\) que se obtiene eliminando la primera fila y la primera columna: \[ N = \begin{pmatrix} 1+a & 1-a & a^2-a\\[1mm] 2 & -4 & -2\\[1mm] 5 & -5 & 3a-6 \end{pmatrix}. \]

   Recordando que el intercambio inicial de filas multiplicó el determinante por \(-1\), se tiene:

   \[ \det(M) = -\det(N). \]

4. Cálculo de \(\det(N)\): Se calcula el determinante de \(N\) por expansión respecto a la primera fila:

   \[ \det(N) = (1+a)\,\det\begin{pmatrix} -4 & -2 \\ -5 & 3a-6 \end{pmatrix} - (1-a)\,\det\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 5 & 3a-6 \end{pmatrix} + (a^2-a)\,\det\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 5 & -5 \end{pmatrix}. \]

   Calculamos cada uno de los determinantes \(2 \times 2\):

   • \(\det\begin{pmatrix} -4 & -2 \\ -5 & 3a-6 \end{pmatrix} = (-4)(3a-6) - (-2)(-5) = -12a+24-10 = -12a+14.\)
   • \(\det\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 5 & 3a-6 \end{pmatrix} = 2(3a-6) - (-2)(5) = 6a-12+10 = 6a-2.\)
   • \(\det\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 5 & -5 \end{pmatrix} = 2(-5) - (-4)(5) = -10+20 = 10.\)

   Sustituyendo, obtenemos:

   \[ \begin{aligned} \det(N) &= (1+a)(-12a+14) - (1-a)(6a-2) + (a^2-a)(10)\\[1mm] &= \bigl[-12a-12a^2+14+14a\bigr] - \bigl[6a-2-6a^2+2a\bigr] + \bigl[10a^2-10a\bigr]\\[1mm] &= \bigl[-12a^2+2a+14\bigr] - \bigl[-6a^2+8a-2\bigr] + \bigl[10a^2-10a\bigr]\\[1mm] &= (-12a^2+2a+14) + (6a^2-8a+2) + (10a^2-10a)\\[1mm] &= ( -12a^2+6a^2+10a^2) + (2a-8a-10a) + (14+2)\\[1mm] &= 4a^2 -16a + 16\\[1mm] &= 4(a-2)^2. \end{aligned} \]

   Por lo tanto:

   \[ \det(M) = -\det(N) = -4(a-2)^2. \]

Concluimos que el determinante de la matriz ampliada se anula si y solo si \((a-2)^2=0\), es decir, cuando \(a=2\).

Paso 2: Estudio del caso \(a=2\).

Sustituyendo \(a=2\) en el sistema se obtiene:

\[ \begin{aligned} (1)&\quad 2x + y + z = 4,\\[1mm] (2)&\quad x - y + z = 1,\\[1mm] (3)&\quad 3x - y - z = 1,\\[1mm] (4)&\quad 6x - y + z = 6. \end{aligned} \]

La matriz de coeficientes queda:

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[1mm] 1 & -1 & 1\\[1mm] 3 & -1 & -1\\[1mm] 6 & -1 & 1 \end{pmatrix}. \]

Se verifica que existe un menor de orden 3 (por ejemplo, el formado por las filas 1, 2 y 4) cuyo determinante es:

\[ \det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[1mm] 1 & -1 & 1\\[1mm] 6 & -1 & 1 \end{pmatrix} = 10 \neq 0, \]

de modo que \(\operatorname{rango}(A)=3\).

Además, al tener \(\det(M)=0\) en este caso, se concluye que \(\operatorname{rango}([A\,|\,b])=3\).

Según el teorema de Rouché-Fröbenius, al cumplirse que \(\operatorname{rango}(A)=\operatorname{rango}([A\,|\,b])=3\) (el número de incógnitas), el sistema es compatible determinado.

Punto de corte cuando \(a=2\): Para hallar el punto de intersección de los cuatro planos, resolvemos el subsistema formado por las ecuaciones (1), (2) y (3).

De la ecuación (2): \[ x - y + z = 1 \quad \Longrightarrow \quad y = x + z - 1. \]

Sustituyendo en (1): \[ 2x + (x+z-1) + z = 4 \quad \Longrightarrow \quad 3x + 2z = 5. \]

De la ecuación (3): \[ 3x - y - z = 1. \] Reemplazando \(y\): \[ 3x - (x+z-1) - z = 1 \quad \Longrightarrow \quad 2x - 2z + 1 = 1 \quad \Longrightarrow \quad 2x = 2z. \] Por lo tanto, \(z = x\).

Sustituyendo \(z = x\) en la ecuación \(3x + 2z = 5\): \[ 3x + 2x = 5 \quad \Longrightarrow \quad 5x = 5 \quad \Longrightarrow \quad x = 1. \]

Luego, \(z = 1\) y, usando \(y = x + z - 1\), se tiene: \[ y = 1 + 1 - 1 = 1. \]

Así, el punto de intersección es: \(P(1,1,1)\).

Paso 3: Estudio del caso \(a \neq 2\).

Si \(a \neq 2\), entonces \((a-2)^2 \neq 0\) y, por lo tanto,

\[ \det(M) = -4(a-2)^2 \neq 0. \]

Esto implica que la matriz ampliada tiene rango 4, mientras que la matriz de coeficientes \(A\) (de tamaño \(4 \times 3\)) tiene como mucho rango 3.

Según el teorema de Rouché-Fröbenius, al tener \[ \operatorname{rango}(A) < \operatorname{rango}([A\,|\,b]), \] el sistema es incompatible.

Geométricamente, esto significa que no existe un punto de intersección común para los cuatro planos.

Sin embargo, se puede observar que tres de los planos se intersecan en un único punto. Analicemos el subsistema formado por los planos:

• \(\pi_2\): \(x - y + z = 1\),
• \(\pi_3\): \(3x - y - z = 1\),
• \(\pi_4\): \(6x - y + z = 3a\).

Intersección de \(\pi_2\), \(\pi_3\) y \(\pi_4\):

De \(\pi_2\): \(x - y + z = 1\) se obtiene \(y = x + z - 1\).

Sustituyendo en \(\pi_3\): \[ 3x - (x+z-1) - z = 1 \quad \Longrightarrow \quad 2x - 2z + 1 = 1, \] lo que implica: \[ z = x. \]

Con \(z = x\), de \(\pi_2\) se tiene \(y = 2x - 1\).

Ahora, sustituyendo \(x\), \(y\) y \(z\) en \(\pi_4\): \[ 6x - (2x-1) + x = 3a \quad \Longrightarrow \quad 6x - 2x + 1 + x = 3a, \] es decir, \[ 5x + 1 = 3a \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{3a-1}{5}. \]

Así, se obtiene: \[ x = \frac{3a-1}{5},\quad y = 2\left(\frac{3a-1}{5}\right)-1 = \frac{6a-7}{5},\quad z = \frac{3a-1}{5}. \]

Es decir, los planos \(\pi_2\), \(\pi_3\) y \(\pi_4\) se intersecan en el punto \(\displaystyle P\left(\frac{3a-1}{5},\, \frac{6a-7}{5},\, \frac{3a-1}{5}\right)\).

Posición relativa de \(\pi_1\) respecto a \(\pi_2\), \(\pi_3\) y \(\pi_4\):

Dado que para \(a \neq 2\) el punto \(P\) no satisface la ecuación de \(\pi_1\) (se verifica al sustituir \(P\) en \(ax+y+z=a^2\)), el plano \(\pi_1:\; ax+y+z=a^2\) no contiene a \(P\). Por ello, la intersección de \(\pi_1\) con cada uno de los otros planos es una recta.

Ecuaciones de las rectas de intersección:

• Intersección de \(\pi_1\) y \(\pi_2\) (denotémosla \(L_{12}\)):
  \(\pi_1:\; ax+y+z=a^2\) y \(\pi_2:\; x-y+z=1\).
  De \(\pi_2\), se obtiene \(y=x+z-1\). Sustituyendo en \(\pi_1\): \[ ax + (x+z-1) + z = a^2 \quad \Longrightarrow \quad (a+1)x + 2z = a^2+1. \] Sea \(t\) el parámetro tomando \(x=t\), se tiene: \[ z=\frac{a^2+1-(a+1)t}{2} \quad \text{y} \quad y=t+\frac{a^2+1-(a+1)t}{2}-1. \] Así, las ecuaciones paramétricas de \(L_{12}\) son: \[ \begin{cases} x=t,\\[1mm] y=\displaystyle \frac{(1-a)t+(a^2-1)}{2},\\[1mm] z=\displaystyle \frac{a^2+1-(a+1)t}{2}. \end{cases} \]
• Intersección de \(\pi_1\) y \(\pi_3\) (denotémosla \(L_{13}\)):
  \(\pi_1:\; ax+y+z=a^2\) y \(\pi_3:\; 3x-y-z=1\).
  Sumando ambas ecuaciones se elimina \(y\) y \(z\): \[ (a+3)x = a^2+1 \quad \Longrightarrow \quad x=\frac{a^2+1}{a+3}. \] Sea \(t\) el parámetro para \(y\); entonces, de \(\pi_1\): \[ y = t,\quad z = a^2 - a\frac{a^2+1}{a+3} - t. \] Así, las ecuaciones paramétricas de \(L_{13}\) son: \[ \begin{cases} x=\displaystyle \frac{a^2+1}{a+3},\\[1mm] y=t,\\[1mm] z=a^2-\displaystyle \frac{a(a^2+1)}{a+3}-t. \end{cases} \]
• Intersección de \(\pi_1\) y \(\pi_4\) (denotémosla \(L_{14}\)):
  \(\pi_1:\; ax+y+z=a^2\) y \(\pi_4:\; 6x-y+z=3a\).
  Sumando ambas ecuaciones: \[ (a+6)x + 2z = a^2+3a \quad \Longrightarrow \quad z=\frac{a^2+3a-(a+6)x}{2}. \] Restando \(\pi_1\) de \(\pi_4\): \[ (6-a)x-2y=3a-a^2 \quad \Longrightarrow \quad y=\frac{(6-a)x-(3a-a^2)}{2}. \] Sea \(t\) el parámetro tomando \(x=t\), se obtienen las ecuaciones paramétricas: \[ \begin{cases} x=t,\\[1mm] y=\displaystyle \frac{(6-a)t-(3a-a^2)}{2},\\[1mm] z=\displaystyle \frac{a^2+3a-(a+6)t}{2}. \end{cases} \]

En resumen, en el caso \(a \neq 2\), los planos \(\pi_2\), \(\pi_3\) y \(\pi_4\) se intersecan en el punto \(\displaystyle P\left(\frac{3a-1}{5},\, \frac{6a-7}{5},\, \frac{3a-1}{5}\right)\), mientras que el plano \(\pi_1\) no contiene a este punto, por lo que su intersección con cada uno de los otros planos es una recta, cuyas ecuaciones se han detallado anteriormente.

Conclusión Final

• En el Paso 1, se obtuvo que \(\det(M)=-4(a-2)^2\), el cual se anula únicamente cuando \(a=2\).
• En el Paso 2, para \(a=2\) se tiene que \(\operatorname{rango}(A)=\operatorname{rango}([A\,|\,b])=3\); por ello, el sistema es compatible determinado y los cuatro planos se intersecan en el único punto \((1,1,1)\).
• En el Paso 3, para \(a \neq 2\) se cumple que \(\operatorname{rango}(A)=3 < \operatorname{rango}([A\,|\,b])=4\); por lo tanto, el sistema es incompatible y no existe un punto común de intersección.