DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
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¿qué es la distribución binomial? ¿cúando uso la distribución binomial? ¿cómo uso la distribución binomial?
La distribución binomial es una de las distribuciones de probabilidad discretas más importantes. Se utiliza frecuentemente para modelar situaciones en las que se realizan una serie de ensayos repetidos y queremos conocer la probabilidad de obtener un cierto número de éxitos.
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EBAU Región de Murcia Junio 2024
Trabaje con 4 cifras decimales para las probabilidades y con 2 para los porcentajes.
El cociente intelectual (CI) de los estudiantes de Bachillerato de la Región de Murcia sigue una distribución normal de media \( \mu \) y desviación típica \( \sigma \) desconocidas. Se sabe que el 6,68% de estos estudiantes tiene un CI mayor que 115 y que el 59,87% tiene un CI menor que 102,5.
a) [0,5 p.] ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes con CI entre 102,5 y 115?
b) [1 p.] Si se eligen al azar 6 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 5 de ellos tengan un CI menor que 115?
c) [1 p.] Calcule la media y la desviación típica de esta distribución.
Solución
Apartado b: Probabilidad de que al elegir 6 estudiantes al azar, al menos 5 tengan un CI menor que 115
Sea \(Y\) la variable aleatoria que cuenta el número de estudiantes (de 6) con CI menor que 115. Como el 6,68% tienen CI mayor que 115, se tiene:
\[ P(X < 115) = 1 - 0,0668 = 0,9332. \]
Así, \(Y \sim \text{Binomial}(6; 0,9332)\) y se requiere:
\[ P(Y \ge 5) = P(Y = 5) + P(Y = 6). \]
Desarrollamos los términos:
- Para \(k = 5\): \[ P(Y=5)=\binom{6}{5}(0,9332)^5(0,0668)^1. \]
- Para \(k = 6\): \[ P(Y=6)=\binom{6}{6}(0,9332)^6(0,0668)^0 = (0,9332)^6. \]
Por lo tanto:
\[ P(Y \ge 5)=6\,(0,9332)^5(0,0668)+(0,9332)^6. \]
Evaluando numéricamente con 4 cifras decimales se obtiene aproximadamente 0,9441.
Apartado c: Cálculo de la media y la desviación típica
Sea \(X \sim N(\mu,\sigma)\). Se conoce que:
- \(P(X > 115)=0,0668\) lo que implica \(P(X < 115)=0,9332\).
- \(P(X < 102,5)=0,5987\).
Usando la tipificación \(Z = \frac{X-\mu}{\sigma}\) con \(Z \sim N(0,1)\), tenemos:
- \(P\left(Z < \frac{115-\mu}{\sigma}\right)=0,9332\). Consultando la tabla de la normal estándar, corresponde a \(z=1,5\): \[ \frac{115-\mu}{\sigma}=1,5. \]
- \(P\left(Z < \frac{102,5-\mu}{\sigma}\right)=0,5987\), lo que corresponde a \(z=0,25\): \[ \frac{102,5-\mu}{\sigma}=0,25. \]
Restando la segunda ecuación de la primera:
\[ (115-\mu) - (102,5-\mu) = 1,5\,\sigma - 0,25\,\sigma, \]
\[ 12,5 = 1,25\,\sigma \quad \Longrightarrow \quad \sigma = \frac{12,5}{1,25} = 10. \]
Sustituyendo en \( \frac{115-\mu}{\sigma}=1,5 \):
\[ 115-\mu = 1,5 \cdot 10 = 15 \quad \Longrightarrow \quad \mu = 115 - 15 = 100. \]
Conclusión
b) La probabilidad de que, al elegir 6 estudiantes al azar, al menos 5 tengan un CI menor que 115 es: \[ P(Y \ge 5)=6\,(0,9332)^5(0,0668)+(0,9332)^6 \approx 0,9441. \]
c) La media y la desviación típica de la distribución son \(\mu = 100\) y \(\sigma = 10\), respectivamente.
EBAU Región de Murcia Junio 2024
Problema 7
El juego de los dados de Efron tiene 4 dados diferentes. Todos son dados perfectos de 6 caras equiprobables, pero la numeración de sus caras es distinta para cada uno:
- Dado A: 0, 0, 4, 4, 4, 4
- Dado B: 3, 3, 3, 3, 3, 3
- Dado C: 2, 2, 2, 2, 6, 6
- Dado D: 1, 1, 1, 5, 5, 5
Ana elige el dado A, Bea elige el dado B, Ceci elige el dado C y Delia elige el dado D. El juego consiste en que cada jugador lanza su dado, ganando aquel que saque la mayor puntuación y perdiendo el que obtenga la menor. Se pueden jugar uno contra uno o todos contra todos.
Calcule:
- Apartado a: Si Ana juega contra Bea, ¿cuál es la probabilidad de que gane Ana?
- Apartado b: Si Ana juega contra Bea 8 veces, ¿cuál es la probabilidad de que Bea gane al menos 3 veces?
- Apartado c: Si Ana juega contra Ceci, ¿cuál es la probabilidad de que gane Ceci?
- Apartado d: Si juegan todos contra todos, ¿cuál es la probabilidad de que Ana ni gane ni pierda?
Solución
Apartado b: Probabilidad de que Bea gane al menos 3 veces en 8 partidas contra Ana
El dado A (de Ana) tiene los resultados 0 (2 veces) y 4 (4 veces), mientras que el dado B (de Bea) siempre muestra 3.
Para que Ana gane, debe obtener un 4 (pues 4 > 3). Por lo tanto:
\[ P(\text{Ana gana}) = \frac{\text{número de caras con 4}}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \]
En cada juego, la probabilidad de que Ana gane es \( \frac{2}{3} \), por lo que la probabilidad de que Bea gane es \( 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \).
Sea \(X\) la variable aleatoria que representa el número de veces que gana Bea en 8 juegos. Entonces \(X \sim \text{Binomial}(8,\frac{1}{3})\).
Queremos calcular la probabilidad de que Bea gane al menos 3 veces:
\[ P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2). \]Desarrollamos el sumatorio término a término:
- Para \(k=0\): \[ P(X=0) = \binom{8}{0}\left(\frac{1}{3}\right)^0\left(\frac{2}{3}\right)^8 = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^8 \approx 0.0437. \]
- Para \(k=1\): \[ P(X=1) = \binom{8}{1}\left(\frac{1}{3}\right)^1\left(\frac{2}{3}\right)^7 = 8 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^7 \approx 0.1745. \]
- Para \(k=2\): \[ P(X=2) = \binom{8}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^6 = 28 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^6 \approx 0.3118. \]
Sumamos los resultados:
\[ P(X < 3) = 0.0437 + 0.1745 + 0.3118 = 0.5300. \]Finalmente, la probabilidad de que Bea gane al menos 3 veces es:
\[ P(X \geq 3) = 1 - 0.5300 = 0.4700. \]EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024
Problema 8
Una fábrica de componentes de ordenador produce 2500 microprocesadores al día. Sabiendo que el porcentaje de microprocesadores defectuosos fabricados es del 2%, responda razonadamente a las siguientes cuestiones:
(a) (0,5 p.) ¿Qué distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de microprocesadores defectuosos fabricados al día?
(b) (0,5 p.) Calcule la media y la desviación típica de esta distribución.
(c) (0,75 p.) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día el número de microprocesadores defectuosos fabricados sea menor o igual que 57?
(d) (0,75 p.) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día el número de microprocesadores defectuosos fabricados sea exactamente 50?
Solución
Parte (a): Distribución de la variable aleatoria.
La variable aleatoria que cuenta el número de microprocesadores defectuosos sigue una distribución binomial, ya que tenemos un número fijo de ensayos (\(n = 2500\)) y dos posibles resultados en cada ensayo (defectuoso o no defectuoso), con una probabilidad constante de éxito (\(p = 0,02\)). Por lo tanto, la variable aleatoria \(X\) que representa el número de microprocesadores defectuosos sigue una distribución binomial \(X \sim B(2500, 0,02)\).
Parte (b): Cálculo de la media y la desviación típica.
La media de una distribución binomial \(B(n, p)\) se calcula como:
\[ \mu = n \cdot p = 2500 \cdot 0,02 = 50. \]La desviación típica se calcula como:
\[ \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{2500 \cdot 0,02 \cdot 0,98} = \sqrt{49} = 7. \]