DISTRIBUCIÓN NORMAL o gaussiana
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¿qué es la distribución normal o gaussiana? ¿cómo uso la distribución normal o gaussiana? ¿cuando uso la distribución normal o gaussiana?
La distribución normal, también conocida como distribución gaussiana, es una de las distribuciones de probabilidad más importantes en estadística y probabilidad. Se caracteriza por su forma de campana simétrica y es utilizada para modelar una gran variedad de fenómenos naturales y sociales.
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exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii
exámenes de pau de matemáticas ii
PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024
Pregunta 8.
En una comunidad autónoma se estudia la cantidad media de basura que se genera por habitante durante dos meses. Se observa que sigue una distribución normal de media \( \mu = 85 \) Kg y desviación típica \( \sigma = 15 \) Kg.
(a) [0.75 p.] ¿Qué porcentaje de la población genera más de 90 Kg cada dos meses?
(b) [0.75 p.] Si se toma una muestra de 10,000 habitantes, ¿cuántos generan menos de 90 Kg de basura?
(c) [1 p.] Se hace una campaña de concienciación y se observa que, de las 10,000 personas de la muestra, 5596 generan menos de 70 Kg de basura. Suponiendo que se mantiene la desviación típica, ¿cuál es la nueva media? ¿Ha funcionado la campaña?
Solución
Solución del apartado a: Cálculo del porcentaje de la población que genera más de 90 Kg
Sea \(X\) la variable aleatoria que representa la cantidad de basura generada por habitante en dos meses. Tenemos \(X \sim N(85,15)\).
Queremos hallar \(P(X>90)\). Para ello, estandarizamos:
\[ z=\frac{90-85}{15}=\frac{5}{15}\approx0.3333. \]
Usando la función de distribución de la normal \(N(0,1)\), se tiene:
\[ P(X>90)=1-F(0.3333). \]
Según los valores proporcionados, \(F(0.3333)=0.6294\). Entonces:
\[ P(X>90)=1-0.6294=0.3706. \]
Es decir, aproximadamente el 37.06 % de la población genera más de 90 Kg cada dos meses.
Solución del apartado b: Número de habitantes que generan menos de 90 Kg
La probabilidad de que un habitante genere menos de 90 Kg es:
\[ P(X<90)=F(0.3333)=0.6294. \]
Si se toma una muestra de 10,000 habitantes, el número esperado de habitantes que generan menos de 90 Kg es:
\[ N = 0.6294 \times 10,\!000 \approx 6294. \]
Solución del apartado c: Cálculo de la nueva media tras la campaña de concienciación
Después de la campaña, se observa que de 10,000 habitantes, 5596 generan menos de 70 Kg. Sea \(Y\) la variable aleatoria con la nueva distribución, \(Y \sim N(\mu_{\text{nuevo}},15)\), donde la desviación típica se mantiene en 15 Kg.
La probabilidad observada es:
\[ P(Y<70)=\frac{5596}{10,000}=0.5596. \]
Estandarizamos para \(Y\):
\[ z=\frac{70-\mu_{\text{nuevo}}}{15}. \]
Se nos indica que \(F(z)=0.5596\). Consultando la tabla de la normal, vemos que:
\[ F(0.15)=0.5596. \]
Por tanto, \(z=0.15\). Así:
\[ \frac{70-\mu_{\text{nuevo}}}{15}=0.15 \quad \Longrightarrow \quad 70-\mu_{\text{nuevo}}=15\times0.15=2.25. \]
Resolviendo:
\[ \mu_{\text{nuevo}}=70-2.25=67.75. \]
La nueva media es de 67.75 Kg, lo que indica una reducción significativa respecto a la media original de 85 Kg. Por tanto, la campaña ha funcionado.
EBAU Región de Murcia Junio 2024
Problema 8
Trabaje con 4 cifras decimales para las probabilidades y con 2 para los porcentajes.
El cociente intelectual (CI) de los estudiantes de Bachillerato de la Región de Murcia sigue una distribución normal de media \( \mu \) y desviación típica \( \sigma \) desconocidas. Se sabe que el 6,68% de estos estudiantes tiene un CI mayor que 115 y que el 59,87% tiene un CI menor que 102,5.
a) [0,5 p.] ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes con CI entre 102,5 y 115?
b) [1 p.] Si se eligen al azar 6 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 5 de ellos tengan un CI menor que 115?
c) [1 p.] Calcule la media y la desviación típica de esta distribución.
Solución
Apartado a: Porcentaje de estudiantes con CI entre 102,5 y 115
Se nos indica que el 6,68% de los estudiantes tiene un CI mayor que 115. Esto significa que el área bajo la curva normal desde 115 hasta infinito es el 6,68% del total.
Asimismo, se dice que el 59,87% de los estudiantes tiene un CI menor que 102,5, lo que significa que el área bajo la curva desde \(-\infty\) hasta 102,5 es el 59,87% del total.
Dado que el área total bajo la curva de la distribución normal es 100%, el porcentaje de estudiantes cuyo CI se encuentre entre 102,5 y 115 se obtiene restando a 100% la suma de los porcentajes de las dos colas:
\[ \text{Porcentaje entre 102,5 y 115} = 100\% - (6,68\% + 59,87\%) = 100\% - 66,55\% = 33,45\%. \]
ABAU Galicia Convocatoria ordinaria 2024
Problema 8
Una máquina que distribuye agua en botellas echa una cantidad de agua que sigue una distribución normal con media igual a 500 mililitros y desviación típica igual a 4 mililitros.
a) Si elegimos al azar una de las botellas, ¿cuál es la probabilidad de que lleve entre 499 y 502 mililitros?
b) ¿Cuál es la cantidad de agua, en mililitros, excedida por el 97,5% de estas botellas?
Solución
Solución del apartado a:
Sabemos que la variable \( X \sim N(500, 4^2) \). Queremos calcular \( P(499 \leq X \leq 502) \).
Transformamos a la variable normal estándar:
\[ Z = \frac{X - 500}{4} \]Calculamos los valores de \( Z \):
\[ Z_1 = \frac{499 - 500}{4} = -0.25 \quad \text{y} \quad Z_2 = \frac{502 - 500}{4} = 0.5 \]Usamos la tabla de la normal estándar para obtener:
\[ P(499 \leq X \leq 502) = P(-0.25 \leq Z \leq 0.5) = 0.6915 - 0.4013 = 0.2902 \]Resultado: \( \boxed{0.2902} \) o un 29.02%.
Solución del apartado b:
El valor que excede el 97.5% de las botellas corresponde al percentil \( 2.5 \% \), que es \( Z = -1.96 \) en la distribución normal estándar.
Transformamos este valor a la escala original:
\[ X = (-1.96) \cdot 4 + 500 = 492.16 \]Resultado: \( \boxed{492.16} \) mililitros.
ABAU La Rioja Convocatoria ordinaria 2024
Problema 9
Una máquina de café está regulada de modo que la cantidad de café que echa está distribuida por una normal de media 125 ml y una desviación típica de 20 ml.
(i) ¿Cuál es el porcentaje de vasos que se llenarán con más de 150 ml?
(ii) ¿Entre qué capacidades está el 60% de los cafés que dispensa la máquina?
Solución del apartado i:
La variable \( X \sim N(125, 20^2) \). Queremos calcular \( P(X > 150) \).
Tipificamos la variable \( X \) para convertirla a una normal estándar:
\[ Z = \frac{150 - 125}{20} = 1.25 \]Usamos la tabla de la normal estándar para encontrar \( P(Z > 1.25) \):
\[ P(Z > 1.25) = 1 - P(Z \leq 1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056 \]Resultado: el porcentaje de vasos que se llenarán con más de 150 ml es el 10.56%.
Solución del apartado ii:
El 60% de los cafés corresponde a los valores simétricos alrededor de la media. Buscamos los valores \( Z_1 = -0.8416 \) y \( Z_2 = 0.8416 \) que corresponden a los percentiles que dejan un 20% en cada cola.
Transformamos los valores a la escala original:
\[ X_1 = 125 + (-0.8416) \cdot 20 = 108.17 \, \text{ml}, \quad X_2 = 125 + 0.8416 \cdot 20 = 141.83 \, \text{ml} \]Resultado: el 60% de los cafés está entre \( 108.17 \, \text{ml} \) y \( 141.83 \, \text{ml} \).
PAU Castilla y León Convocatoria Ordinaria 2024
Problema E10
Se sabe que la cantidad de tiempo que los habitantes de Astorga usan el móvil cada día sigue aproximadamente una distribución normal de media 160 minutos y desviación típica 30 minutos. Calcular:
a) La probabilidad de que un habitante determinado de Astorga use el móvil cada día menos de dos horas. (1 punto)
b) El porcentaje de habitantes de Astorga que usan el móvil cada día más de tres horas y 50 minutos. (1 punto)
Solución
Apartado a: Probabilidad de usar el móvil menos de dos horas
Dado que la distribución es normal con media \( \mu = 160 \) minutos y desviación típica \( \sigma = 30 \) minutos, primero convertimos dos horas a minutos:
\[ 2 \text{ horas} = 120 \text{ minutos} \]Calculamos la probabilidad \( P(X < 120) \). Para ello, tipificamos la variable:
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{120 - 160}{30} = \frac{-40}{30} \approx -1.333 \]Buscamos en la tabla de la distribución normal estándar el valor correspondiente a \( Z = -1.333 \). Como la tabla no tiene valores negativos, usamos la simetría de la distribución normal:
\[ P(Z < -1.333) = 1 - P(Z < 1.333) \]De la tabla, \( P(Z < 1.333) \approx 0.9082 \), por lo que:
\[ P(Z < -1.333) = 1 - 0.9082 = 0.0918 \]Por tanto, la probabilidad de que un habitante use el móvil menos de dos horas es:
\[ \boxed{P(X < 120) \approx 0.0918 \text{ (9.18\%)}} \]Apartado b: Porcentaje de habitantes que usan el móvil más de tres horas y 50 minutos
Convertimos tres horas y 50 minutos a minutos:
\[ 3 \text{ horas y } 50 \text{ minutos} = 230 \text{ minutos} \]Calculamos la probabilidad \( P(X > 230) \). Primero tipificamos la variable:
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{230 - 160}{30} = \frac{70}{30} \approx 2.333 \]Buscamos en la tabla de la distribución normal estándar el valor correspondiente a \( Z = 2.333 \). De la tabla, \( P(Z < 2.333) \approx 0.9901 \), por lo que:
\[ P(Z > 2.333) = 1 - P(Z < 2.333) = 1 - 0.9901 = 0.0099 \]Por tanto, el porcentaje de habitantes que usan el móvil más de tres horas y 50 minutos es:
\[ \boxed{P(X > 230) \approx 0.0099 \text{ (0.99\%)}} \]Conclusión
Resumiendo los resultados:
- La probabilidad de que un habitante use el móvil menos de dos horas es aproximadamente \( 9.18\% \).
- El porcentaje de habitantes que usan el móvil más de tres horas y 50 minutos es aproximadamente \( 0.99\% \).