PROBABILIDAD DE LA UNIÓN
Conocimientos previos
concepto y ejemplos: vídeo y pdf para descargar
Probabilidad de la unión: Enlace al vídeo
PDF del vídeo: Descargar PDF
¿cómo hallo la probabilidad de la unión?
La probabilidad de la unión es un concepto fundamental en la teoría de la probabilidad y nos permite calcular la probabilidad de que ocurra al menos uno de dos sucesos.
La probabilidad de la unión de dos sucesos, A y B, se representa como P(A ∪ B) y se refiere a la probabilidad de que ocurra A, o B, o los dos a la vez.
Fórmula General:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
- P(A): Probabilidad de que ocurra el suceso A.
- P(B): Probabilidad de que ocurra el suceso B.
- P(A ∩ B): Probabilidad de que ocurran ambos sucesos, A y B (intersección).
¿Por qué restamos P(A ∩ B)?
Imagina que estás lanzando un dado. El suceso A es obtener un número par y el suceso B es obtener un número menor que 4. Si simplemente sumas P(A) y P(B), estarías contando dos veces los resultados que cumplen ambas condiciones (2 y 4). Por eso, es necesario restar la probabilidad de la intersección para evitar esta doble contabilización.
Caso Especial: Sucesos Incompatibles
Si los sucesos A y B son incompatibles (no pueden ocurrir al mismo tiempo), entonces P(A ∩ B) = 0. En este caso, la fórmula se simplifica a:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Por ejemplo: En una baraja de 52 cartas, ¿Cuál es la probabilidad de sacar un corazón o un as?
- Evento A: Sacar un corazón p(A) = 13/52 (Hay 13 corazones y 52 cartas en total).
- Evento B: Sacar un As p(B) = 4/52 (Hay 4 Ases y 52 cartas en total).
- Evento A ∩ B: Sacar un as de corazones p(A ∩ B) = 1/52 (Hay 1 As de corazones y 52 cartas en total).
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 13/52 + 4/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13
PROBLEMAS/ejercicios RESUELTOS: vídeos y pdf para descargar
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC. SS. II
MATEMÁTICAS II
PAU Madrid Convocatoria Ordinaria 2024
Problema A4.
Se tienen los siguientes datos:
- \(P(A^c)=\frac{11}{20}\) (es decir, la probabilidad del complementario de \(A\) es \(\frac{11}{20}\)).
- \(P(A|B)-P(B|A)=\frac{1}{24}\).
- \(P\bigl(A\cap B^c\bigr)=\frac{3}{10}\) (la probabilidad de \(A\) intersección el complementario de \(B\) es \(\frac{3}{10}\)).
Se pide:
- (a) Calcular \(P(A\cap B)\) y \(P(B)\).
- (b) Calcular \(P(C)\), siendo \(C\) otro suceso del espacio muestral, independiente de \(A\), y verificando que \[ P(A\cup C)=\frac{14}{25}. \]
Solución
A4 (b):
Se pide calcular \(P(C)\) sabiendo que \(C\) es un suceso independiente de \(A\) y que: \[ P(A\cup C)=\frac{14}{25}. \]
Debido a la independencia de \(A\) y \(C\), se cumple: \[ P(A\cap C)=P(A)P(C). \]
Recordamos que la probabilidad de la unión se expresa como: \[ P(A\cup C)=P(A)+P(C)-P(A\cap C)=P(A)+P(C)-P(A)P(C). \]
Sea \(x=P(C)\) y sabiendo que \(P(A)=\frac{9}{20}\), tenemos: \[ \frac{9}{20}+x-\frac{9}{20}x=\frac{14}{25}. \]
Factorizamos \(x\): \[ \frac{9}{20}+x\Bigl(1-\frac{9}{20}\Bigr)=\frac{14}{25}. \]
Calculamos: \[ 1-\frac{9}{20}=\frac{11}{20}, \] de modo que la ecuación queda: \[ \frac{9}{20}+\frac{11}{20}x=\frac{14}{25}. \]
Multiplicamos ambos lados por 20 para despejar \(x\): \[ 9+11x=\frac{14}{25}\times 20. \]
Notamos que: \[ \frac{14}{25}\times 20=\frac{280}{25}=\frac{56}{5}. \]
Así, la ecuación es: \[ 9+11x=\frac{56}{5}. \]
Restamos 9 (es decir, \(\frac{45}{5}\)) a ambos lados: \[ 11x=\frac{56}{5}-\frac{45}{5}=\frac{11}{5}. \]
Finalmente, despejamos \(x\): \[ x=\frac{\frac{11}{5}}{11}=\frac{1}{5}. \]
Por lo tanto, \(P(C)=\frac{1}{5}\).
EBAU Región de Murcia Junio 2024
Problema 7
El juego de los dados de Efron tiene 4 dados diferentes. Todos son dados perfectos de 6 caras equiprobables, pero la numeración de sus caras es distinta para cada uno:
- Dado A: 0, 0, 4, 4, 4, 4
- Dado B: 3, 3, 3, 3, 3, 3
- Dado C: 2, 2, 2, 2, 6, 6
- Dado D: 1, 1, 1, 5, 5, 5
Ana elige el dado A, Bea elige el dado B, Ceci elige el dado C y Delia elige el dado D. El juego consiste en que cada jugador lanza su dado, ganando aquel que saque la mayor puntuación y perdiendo el que obtenga la menor. Se pueden jugar uno contra uno o todos contra todos.
Calcule:
- Apartado a: Si Ana juega contra Bea, ¿cuál es la probabilidad de que gane Ana?
- Apartado b: Si Ana juega contra Bea 8 veces, ¿cuál es la probabilidad de que Bea gane al menos 3 veces?
- Apartado c: Si Ana juega contra Ceci, ¿cuál es la probabilidad de que gane Ceci?
- Apartado d: Si juegan todos contra todos, ¿cuál es la probabilidad de que Ana ni gane ni pierda?
Solución
Apartado c: Probabilidad de que gane Ceci contra Ana
El dado A (de Ana) tiene: 0 (2/6) y 4 (4/6). El dado C (de Ceci) tiene: 2 (4/6) y 6 (2/6).
Para que Ceci gane:
- Si Ana saca 0 (con probabilidad \( \frac{2}{6} \)), Ceci gana sin importar su resultado.
- Si Ana saca 4 (con probabilidad \( \frac{4}{6} \)), Ceci gana solo si saca 6 (con probabilidad \( \frac{2}{6} \)).
Así:
\[ P(\text{Ceci gana}) = \frac{2}{6} + \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{2}{6} + \frac{8}{36} = \frac{12}{36} + \frac{8}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}. \]
Apartado d: Probabilidad de que Ana ni gane ni pierda en un juego todos contra todos
En este apartado, se nos pide calcular la probabilidad de que Ana no sea ni la que gane ni la que pierda en un juego donde participan todos (Ana, Bea, Ceci y Delia). Esto significa que su puntuación debe ser intermedia: ni la mayor ni la menor.
Los resultados posibles para los dados son los siguientes:
- Dado A (Ana): 0 (2/6) y 4 (4/6).
- Dado B (Bea): siempre 3 (6/6).
- Dado C (Ceci): 2 (4/6) y 6 (2/6).
- Dado D (Delia): 1 (3/6) y 5 (3/6).
Para que Ana ni gane ni pierda, su puntuación debe ser intermedia respecto a los demás jugadores. Es decir, Ana debe sacar un 4, y al menos uno de los otros jugadores debe sacar una puntuación mayor que 4 (Ceci con un 6 o Delia con un 5) y al menos uno de los otros jugadores debe sacar una puntuación menor que 4 (Ceci con un 2 o Delia con un 1).
Dividimos este problema en varios casos:
Caso 1: Ana saca 4.
Para que Ana ni gane ni pierda, necesitamos que al menos uno de los otros jugadores saque una puntuación mayor que 4 (es decir, Ceci debe sacar un 6 o Delia debe sacar un 5) y al menos uno de los otros jugadores saque una puntuación menor que 4 (esto seguro que ocurre porque Bea siempre sacará un 3).
- La probabilidad de que Ceci saque 6 o Delia saque 5 es: \[ P(\text{Ceci saca 6 o Delia saca 5}) = P(\text{Ceci saca 6}) + P(\text{Delia saca 5}) - P(\text{Ceci saca 6 y Delia saca 5}) = \] \[ = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} - \left(\frac{2}{6} \cdot \frac{3}{6}\right) = \frac{5}{6} - \frac{6}{36} = \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \]
Caso 2: Ana saca un 0.
En este caso, Ana perdería, ya que cualquiera de los otros jugadores siempre sacará una puntuación mayor. Por lo tanto, este caso no cuenta para la probabilidad de que Ana ni gane ni pierda.
Ahora, como solo el caso donde Ana saca un 4 es relevante, la probabilidad de que Ana ni gane ni pierda es la probabilidad de que, cuando Ana saca 4, al menos uno de los otros jugadores saque una puntuación mayor que 4 y al menos uno de los otros jugadores saque una puntuación menor que 4.
Esto es simplemente la probabilidad conjunta de que uno saque una puntuación mayor y otro menor:
\[ P(\text{Ana ni gana ni pierde}) = \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1. \]Multiplicando:
\[ P(\text{Ana ni gana ni pierde}) = \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}. \]ABAU Galicia Convocatoria ordinaria 2024
Problema 7
Dados \( P(A) = \dfrac{1}{3} \) y \( P(B) = \dfrac{1}{2} \):
a) Si \( A \) y \( B \) son independientes, calcule \( P(A \cup B) \) y \( P(\overline{A} \,|\, (\overline{A} \cup \overline{B})) \).
b) Si \( A \) y \( B \) son incompatibles, calcule \( P(A \cup B) \) y \( P(\overline{A} \,|\, (\overline{A} \cup \overline{B})) \).
Solución
Solución del apartado a:
Paso 1: Cálculo de \( P(A \cup B) \):
Para sucesos independientes:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) \]Sustituyendo valores:
\[ P(A \cup B) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} - \left(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2}{3} \]Resultado: \( \boxed{P(A \cup B) = \dfrac{2}{3}} \).
Paso 2: Cálculo de \( P(\overline{A} \cup \overline{B}) \):
Por las leyes de De Morgan:
\[ \overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B} \]Como \( A \) y \( B \) son independientes:
\[ P(A \cap B) = P(A)P(B) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} \]Entonces:
\[ P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1 - P(A \cap B) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6} \]Paso 3: Cálculo de \( P(\overline{A} \,|\, (\overline{A} \cup \overline{B})) \):
Usamos probabilidad condicional:
\[ P(\overline{A} \,|\, (\overline{A} \cup \overline{B})) = \dfrac{P(\overline{A} \cap (\overline{A} \cup \overline{B}))}{P(\overline{A} \cup \overline{B})} \]Simplificando el numerador:
\[ \overline{A} \cap (\overline{A} \cup \overline{B}) = \overline{A} \]Sustituyendo valores:
\[ P(\overline{A} \,|\, (\overline{A} \cup \overline{B})) = \dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{5}{6}} = \dfrac{4}{5} \]Resultado: \( \boxed{P(\overline{A} \,|\, (\overline{A} \cup \overline{B})) = \dfrac{4}{5}} \).
Solución del apartado b:
Paso 1: Cálculo de \( P(A \cup B) \):
Para sucesos incompatibles (\( A \cap B = \emptyset \)):
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6} \]Resultado: \( \boxed{P(A \cup B) = \dfrac{5}{6}} \).
Paso 2: Cálculo de \( P(\overline{A} \cup \overline{B}) \):
Si \( A \) y \( B \) son incompatibles:
\[ A \cap B = \emptyset \quad \Rightarrow \quad \overline{A} \cup \overline{B} = \Omega \quad (\text{espacio muestral completo}) \]Por lo tanto:
\[ P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1 \]Paso 3: Cálculo de \( P(\overline{A} \,|\, (\overline{A} \cup \overline{B})) \):
Como \( \overline{A} \cup \overline{B} = \Omega \):
\[ P(\overline{A} \,|\, (\overline{A} \cup \overline{B})) = \dfrac{P(\overline{A})}{1} = \dfrac{2}{3} \]Resultado: \( \boxed{P(\overline{A} \,|\, (\overline{A} \cup \overline{B})) = \dfrac{2}{3}} \).
EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024
Problema 7
El 60% de los habitantes de una población consume pan integral, el 40% consume pan blanco y el 20% consume ambos tipos de pan.
(a) (0,5 p.) ¿Son independientes los sucesos “consumir pan integral” y “consumir pan blanco”?
(b) (0,5 p.) Sabiendo que un habitante consume pan integral, ¿cuál es la probabilidad de que consuma pan blanco?
(c) (0,75 p.) Calcule el porcentaje de la población que no consume ninguno de los dos tipos de pan.
(d) (0,75 p.) Sabiendo que un habitante no consume pan integral, ¿cuál es la probabilidad de que consuma pan blanco?
Solución
Parte (c): Población que no consume ni pan integral ni pan blanco.
La probabilidad de que un habitante no consuma ninguno de los dos tipos de pan es:
\[ P(\text{no I} \cap \text{no B}) = 1 - P(I \cup B). \]Aplicamos la fórmula de la unión de dos sucesos:
\[ P(I \cup B) = P(I) + P(B) - P(I \cap B) = 0.6 + 0.4 - 0.2 = 0.8. \]Por lo tanto:
\[ P(\text{no I} \cap \text{no B}) = 1 - 0.8 = 0.2. \]El 20% de la población no consume ninguno de los dos tipos de pan.