OPTIMIZACIÓN CON CONDICIONES DE IGUALDAD
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¿Cómo hallo los máximos y mínimos de una función con condiciones o restricciones?
La optimización con condiciones de igualdad se refiere a la búsqueda del valor máximo o mínimo de una función objetivo f(x,y), sujeta a una restricción de la forma C(x,y)=0.
Este tipo de problemas surge en diversas áreas, como la economía, la ingeniería y las ciencias físicas, donde se buscan soluciones óptimas bajo ciertas condiciones establecidas.
Para resolver este tipo de problemas procederemos de la siguiente forma:
1. A partir de la condición C(x,y)=0 despejaremos una de las variables en función de la otra, por ejemplo y en función de x.
2. Sustituiremos lo que acabamos de hallar en la función f(x,y) obteniendo así una función que solo depende de x (g(x)).
3. Hallaremos el máximo o mínimo de g(x), eso nos dará el valor de x y con la expresión que hemos despejado en el primer paso podremos hallar el valor de y.
También podríamos resolver el problema despejando x en función de y en el primer paso.
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Problema 2
Un nadador se encuentra a 2 km de la playa, enfrente del puesto de la Cruz Roja. Desea ir a la caseta de las duchas que está en la misma playa a 3 km de distancia del puesto de la Cruz Roja. Sabiendo que nada a 3 km/h y anda por la arena a 5 km/h, determinar a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a las duchas en el menor tiempo posible.
Solución
Paso 1: Definición del problema y variables
Fijamos el puesto de la Cruz Roja en el origen \( (0,0) \) y la playa en la recta \( y=0 \). El nadador se encuentra en \( (0,-2) \) (2 km del litoral) y la caseta de las duchas está en \( (3,0) \) (3 km del origen).
Sea \( x \) (en km) la distancia desde el puesto hasta el punto de desembarco en la playa, de modo que dicho punto es \( (x,0) \).
Paso 2: Expresión del tiempo total
La distancia que nada el nadador es:
\[ d_{\text{nadar}} = \sqrt{x^2 + 2^2} = \sqrt{x^2+4}. \]El tiempo de nado, a 3 km/h, es:
\[ t_{\text{nadar}} = \frac{\sqrt{x^2+4}}{3}. \]La distancia a pie desde \( (x,0) \) hasta \( (3,0) \) es:
\[ d_{\text{caminar}} = 3-x. \]El tiempo de caminata, a 5 km/h, es:
\[ t_{\text{caminar}} = \frac{3-x}{5}. \]Así, el tiempo total es:
\[ T(x) = \frac{\sqrt{x^2+4}}{3} + \frac{3-x}{5}. \]Paso 3: Derivación y condición de óptimo
Derivamos \( T(x) \) respecto a \( x \):
La derivada de la primera parte es:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{3}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}, \]y la derivada de la segunda parte es:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{3-x}{5}\right)=-\frac{1}{5}. \]Por lo tanto:
\[ T'(x)=\frac{x}{3\sqrt{x^2+4}}-\frac{1}{5}. \]Igualamos a cero para encontrar el mínimo:
\[ \frac{x}{3\sqrt{x^2+4}}=\frac{1}{5}. \]Paso 4: Resolución de la ecuación
Multiplicamos ambos lados por \( 3\sqrt{x^2+4} \):
\[ x=\frac{3\sqrt{x^2+4}}{5}. \]Elevamos al cuadrado ambos lados:
\[ x^2=\frac{9(x^2+4)}{25}. \]Multiplicamos por 25:
\[ 25x^2=9x^2+36. \]Restamos \( 9x^2 \):
\[ 16x^2=36. \]Dividimos entre 16:
\[ x^2=\frac{36}{16}=\frac{9}{4}. \]Finalmente, tomando la raíz positiva:
\[ x=\frac{3}{2}. \]Paso 5: Conclusión
El nadador debe dirigirse a nado hasta el punto \( (x,0) \) con \( x=\frac{3}{2} \) km, es decir, 1.5 km desde el puesto de la Cruz Roja. Desde allí, deberá caminar \( 3-1.5=1.5 \) km hasta la caseta de las duchas.
Resultado: Para minimizar el tiempo total, el nadador debe llegar a la orilla a 1.5 km del puesto de la Cruz Roja.