INVERSA: MÉTODO DE LOS ADJUNTOS
Conocimientos previos
concepto y ejemplos: vídeo y pdf para descargar
Definición de inversa de una matriz: Enlace al vídeo.
PDF del vídeo: Descargar PDF.
¿cómo hallo la inversa de una matriz por el método de los adjuntos?
El método de los adjuntos, también conocido como método de adjunción o método de la matriz adjunta, es un método algebraico para calcular la inversa de una matriz cuadrada invertible.
Definición de la matriz adjunta:
Sea A una matriz cuadrada de orden n × n. La matriz adjunta de A, denotada como Adj(A), es una matriz de orden n × n cuyos elementos son los adjuntos de la matriz A.
Adjuntos: El adjunto de un elemento aij de la matriz A se define como el determinante de la submatriz que queda al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A, multiplicado por (-1)^(i+j).
Cálculo de la matriz inversa:
La matriz inversa de A es igual a la traspuesta de la matriz adjunta de A dividida por el determinante de A.
PROBLEMAS/ejercicios RESUELTOS: vídeos y pdf para descargar
exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii
exámenes de pau de matemáticas ii
PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024
Pregunta 2. Sea \( x \in \mathbb{R} \) y las matrices \[ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[2mm] -1 & 0 & 3\\[2mm] 2 & 0 & x \end{pmatrix},\quad B=(\,1\quad 1\quad 2\,),\quad C=\begin{pmatrix} 1\\[2mm] 1\\[2mm] 2 \end{pmatrix}. \]
(a) [0,75 p.] Decide de forma razonada si se pueden realizar las operaciones siguientes: \(CAB\) y \(BAC\). ¿Cuál sería la dimensión de la matriz resultante si pudiese realizarse?
(b) [1,75 p.] Calcula, según los valores de \(x\), el rango de \(A\). Para \(x=0\), comprueba que existe \(A^{-1}\) y cálcuala.
Solución
Apartado b: Rango de \(A\) y cálculo de \(A^{-1}\) para \(x=0\)
La matriz \(A\) es:
\[ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[2mm] -1 & 0 & 3\\[2mm] 2 & 0 & x \end{pmatrix}. \]
Calculamos su determinante, que nos indicará si es invertible y su rango completo:
\[ \det(A)= 1\cdot\begin{vmatrix} 0 & 3\\[2mm] 0 & x \end{vmatrix} - 2\cdot\begin{vmatrix} -1 & 3\\[2mm] 2 & x \end{vmatrix} + 3\cdot\begin{vmatrix} -1 & 0\\[2mm] 2 & 0 \end{vmatrix}. \]
Calculamos cada menor:
- \(\begin{vmatrix} 0 & 3\\[2mm] 0 & x \end{vmatrix} = 0\cdot x - 3\cdot 0 = 0\).
- \(\begin{vmatrix} -1 & 3\\[2mm] 2 & x \end{vmatrix} = (-1)\cdot x - (3\cdot2) = -x - 6\).
- \(\begin{vmatrix} -1 & 0\\[2mm] 2 & 0 \end{vmatrix} = (-1)\cdot0 - (0\cdot2) = 0\).
Así,
\[ \det(A)= 1\cdot0 - 2\cdot(-x-6) + 3\cdot0 = 2(x+6)=2x+12. \]
Por lo tanto, \(\det(A)=0\) si y solo si \(2x+12=0\), es decir, \(x=-6\). Entonces:
- Si \(x\neq -6\), \(A\) tiene rango 3.
- Si \(x=-6\), el rango de \(A\) es menor que 3. Como el menor del elemento 3,3 vale 2 concluimos que el rango es 2.
Ahora, para \(x=0\) se tiene:
\[ \det(A)=2(0)+12=12\neq 0, \]
por lo que \(A\) es invertible y su rango es 3.
Para \(x=0\), la matriz \(A\) se convierte en:
\[ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[2mm] -1 & 0 & 3\\[2mm] 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
Procedemos a calcular \(A^{-1}\) usando la fórmula de la inversa para matrices \(3 \times 3\).
Primero, ya hemos calculado:
\[ \det(A)=12. \]
Ahora, calculamos la matriz de adjuntos:
\(C_{11}=\begin{vmatrix} 0 & 3\\[2mm] 0 & 0 \end{vmatrix}=0,\)
\(C_{12}= -\begin{vmatrix} -1 & 3\\[2mm] 2 & 0 \end{vmatrix} = -[(-1)(0)-3(2)] = -(-6)=6,\)
\(C_{13}=\begin{vmatrix} -1 & 0\\[2mm] 2 & 0 \end{vmatrix}= (-1)(0)- (0)(2)=0.\)
\(C_{21}= -\begin{vmatrix} 2 & 3\\[2mm] 0 & 0 \end{vmatrix}= -[2\cdot0-3\cdot0]=0,\)
\(C_{22}=\begin{vmatrix} 1 & 3\\[2mm] 2 & 0 \end{vmatrix}= 1\cdot0-3\cdot2= -6,\)
\(C_{23}= -\begin{vmatrix} 1 & 2\\[2mm] 2 & 0 \end{vmatrix}= -[1\cdot0-2\cdot2]= -(-4)=4,\)
\(C_{31}=\begin{vmatrix} 2 & 3\\[2mm] 0 & 3 \end{vmatrix}= 2\cdot3-3\cdot0=6,\)
\(C_{32}= -\begin{vmatrix} 1 & 3\\[2mm] -1 & 3 \end{vmatrix}= -[1\cdot3 - 3\cdot(-1)] = -(3+3)= -6,\)
\(C_{33}=\begin{vmatrix} 1 & 2\\[2mm] -1 & 0 \end{vmatrix}= 1\cdot0-2\cdot(-1)=2.\)
Así, la matriz de adjuntos es:
\[ \operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix} 0 & 6 & 0\\[2mm] 0 & -6 & 4\\[2mm] 6 & -6 & 2 \end{pmatrix}. \]
La traspuesta de la matriz adjunta es:
\[ \operatorname{adj}(A)^T=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 6\\[2mm] 6 & -6 & -6\\[2mm] 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}. \]
Finalmente, la inversa se obtiene como:
\[ A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\frac{1}{12}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 6\\[2mm] 6 & -6 & -6\\[2mm] 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}. \]
Es decir:
\[ A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \tfrac{6}{12}\\[2mm] \tfrac{6}{12} & -\tfrac{6}{12} & -\tfrac{6}{12}\\[2mm] 0 & \tfrac{4}{12} & \tfrac{2}{12} \end{pmatrix}. \]