INVERSA DE UNA MATRIZ: MÉTODO DE GAUSS

Conocimientos previos

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¿cómo hallo la inversa de una matriz por el método de gauss?

El método de Gauss-Jordan, también conocido como método de eliminación de Gauss-Jordan o método de reducción a la forma escalonada reducida, es un método algebraico para calcular la inversa de una matriz cuadrada invertible. Este método se basa en aplicar transformaciones elementales a la matriz A y a la matriz identidad (I_n) de la misma dimensión, de manera que la matriz A se transforme en la matriz identidad y la matriz identidad se transforme en la inversa de A.

 

Transformaciones elementales:

Las transformaciones elementales permitidas en este método son:

  1. Intercambio de filas: Se pueden intercambiar dos filas de la matriz.
  2. Multiplicación de una fila por un número: Se puede multiplicar una fila de la matriz por un número distinto de cero.
  3. Suma de un múltiplo de una fila a otra: Se puede sumar un múltiplo de una fila de la matriz a otra fila.

 

Procedimiento del método de Gauss-Jordan:

  1. Escribir la matriz A junto a la matriz identidad del mismo orden.
  2. Reducir la matriz A a la forma escalonada reducida: Aplicar transformaciones elementales por filas a la matriz A, manteniendo las mismas transformaciones en la matriz identidad, de manera que la matriz A se transforme en la matriz identidad y la matriz identidad se transforme en la inversa de la matriz A.

PROBLEMAS/ejercicios RESUELTOS: vídeos y pdf para descargar

exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii

    exámenes de pau de matemáticas ii

    Problema 6 - Matrices A y B

    EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024

    Problema 6

    Dadas las matrices \(A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & -a \end{pmatrix}\) y \(B = \begin{pmatrix} a-4 & -1 \\ 0 & 2a \end{pmatrix}\), halla:

    1. \(a\) para que \(A^{2} - A = 12I + B\), con \(I\) la matriz identidad de orden 2.
    2. Halla la matriz \(X\) tal que \(XA = AX = I\).

    Solución

    Apartado a): Hallar el valor de \(a\)

    Para resolver el apartado a), debemos encontrar el valor de \(a\) que satisface la ecuación matricial \(A^{2} - A = 12I + B\). Vamos a calcular cada parte de la ecuación por separado.

    Subpaso a.1: Calculamos \(A^{2}\)

    Multiplicamos la matriz \(A\) por sí misma:

    \[ A^{2} = A \cdot A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & -a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \cdot a + 1 \cdot 0 & a \cdot 1 + 1 \cdot (-a) \\ 0 \cdot a + (-a) \cdot 0 & 0 \cdot 1 + (-a) \cdot (-a) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^{2} & 0 \\ 0 & a^{2} \end{pmatrix}. \]

    Subpaso a.2: Calculamos \(A^{2} - A\)

    Restamos la matriz \(A\) a \(A^{2}\):

    \[ A^{2} - A = \begin{pmatrix} a^{2} & 0 \\ 0 & a^{2} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^{2} - a & 0 - 1 \\ 0 - 0 & a^{2} - (-a) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^{2} - a & -1 \\ 0 & a^{2} + a \end{pmatrix}. \]

    Subpaso a.3: Calculamos \(12I + B\)

    Multiplicamos la matriz identidad \(I\) de orden 2 por 12 y le sumamos la matriz \(B\). Recordemos que \(I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\):

    \[ 12I + B = 12 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a-4 & -1 \\ 0 & 2a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 0 \\ 0 & 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a-4 & -1 \\ 0 & 2a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 + a - 4 & 0 - 1 \\ 0 + 0 & 12 + 2a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 8 & -1 \\ 0 & 12 + 2a \end{pmatrix}. \]

    Subpaso a.4: Igualamos \(A^{2} - A\) y \(12I + B\) y resolvemos la ecuación

    Igualamos las matrices \(A^{2} - A\) y \(12I + B\) e igualamos los elementos correspondientes para formar ecuaciones:

    \[ \begin{pmatrix} a^{2} - a & -1 \\ 0 & a^{2} + a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 8 & -1 \\ 0 & 12 + 2a \end{pmatrix}. \]

    Igualando los elementos, obtenemos las siguientes ecuaciones:

    1. Elemento (1,1): \(a^{2} - a = a + 8 \Rightarrow a^{2} - 2a - 8 = 0\)
    2. Elemento (1,2): \(-1 = -1\) (siempre cierto, no depende de \(a\))
    3. Elemento (2,1): \(0 = 0\) (siempre cierto, no depende de \(a\))
    4. Elemento (2,2): \(a^{2} + a = 12 + 2a \Rightarrow a^{2} - a - 12 = 0\)

    Vamos a resolver la primera ecuación cuadrática \(a^{2} - 2a - 8 = 0\) utilizando la fórmula resolvente de ecuaciones de segundo grado, que es \(a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). En este caso, para la ecuación \(a^{2} - 2a - 8 = 0\), tenemos \(A = 1\), \(B = -2\) y \(C = -8\). Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos:

    \[ a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}. \]

    Esto nos da dos posibles soluciones: \(a_1 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4\) y \(a_2 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2\).

    Ahora resolvemos la segunda ecuación cuadrática \(a^{2} - a - 12 = 0\) también con la fórmula resolvente. Para esta ecuación, tenemos \(A = 1\), \(B = -1\) y \(C = -12\). Sustituyendo en la fórmula:

    \[ a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2}. \]

    Esto nos da dos posibles soluciones: \(a_3 = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4\) y \(a_4 = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3\).

    Para que ambas ecuaciones se cumplan simultáneamente, el valor de \(a\) debe ser una solución común a ambos pares de soluciones. Comparando las soluciones, vemos que la única solución común es \(a = 4\). Por lo tanto, el valor de \(a\) que satisface la ecuación matricial es \(a = 4\).

    Apartado b): Hallar la matriz \(X\) tal que \(XA = AX = I\)

    La condición \(XA = AX = I\) nos indica que \(X\) es la matriz inversa de \(A\), es decir, \(X = A^{-1}\). Para que la inversa de \(A\) exista, el determinante de \(A\) debe ser distinto de cero. Primero, vamos a calcular el determinante de \(A\) para \(a = 4\).

    Subpaso b.1: Calculamos el determinante de \(A\) para \(a = 4\)

    Sustituyendo \(a = 4\) en la matriz \(A\), obtenemos \(A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}\). El determinante de una matriz \(2 \times 2\) \(\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}\) es \(ps - qr\). Por lo tanto:

    \[ \text{det}(A) = (4) \cdot (-4) - (1) \cdot (0) = -16 - 0 = -16. \]

    Como \(\text{det}(A) = -16 \neq 0\), la matriz \(A\) tiene inversa.

    Subpaso b.2: Calculamos la inversa de \(A\)

    La inversa de una matriz \(2 \times 2\), \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\), es \(A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\). En nuestro caso, \(A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}\), por lo que \(a = 4\), \(b = 1\), \(c = 0\), \(d = -4\) y \(\text{det}(A) = -16\). Aplicando la fórmula:

    \[ A^{-1} = \frac{1}{-16} \begin{pmatrix} -4 & -1 \\ -0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4}{-16} & \frac{-1}{-16} \\ \frac{0}{-16} & \frac{4}{-16} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{16} \\ 0 & -\frac{1}{4} \end{pmatrix}. \]

    Por lo tanto, la matriz \(X\) es \(X = A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{16} \\ 0 & -\frac{1}{4} \end{pmatrix}\).

    Conclusión

    Para el apartado a), el valor de \(a\) que satisface la ecuación \(A^{2} - A = 12I + B\) es \(a = 4\). Para el apartado b), la matriz \(X\) tal que \(XA = AX = I\) es \(X = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{16} \\ 0 & -\frac{1}{4} \end{pmatrix}\).