PROPIEDADES DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ
Conocimientos previos
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¿qué propiedades tiene la inversa de una matriz?
Las matrices inversas tienen diversas propiedades importantes que las convierten en herramientas matemáticas muy útiles:
- Existencia: Una matriz cuadrada A tiene inversa si y solo si su determinante no es cero (det(A) ≠ 0).
- Unicidad: Si una matriz cuadrada A tiene inversa, entonces esta es única.
- Inversa de la inversa: La inversa de la inversa de una matriz A es la propia matriz A.
- Inversa del producto: La inversa del producto de dos matrices es igual al producto de las inversas en orden contrario al del producto original.
- Inversa de una matriz escalar: La inversa de una matriz escalar kI (donde I es la matriz identidad de orden n) es igual a la matriz escalar (1/k)I.
- Inversa de una matriz traspuesta: La inversa de la matriz traspuesta de A es igual a la traspuesta de la inversa de la matriz A.
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EBAU Región de Murcia Junio 2024
Problema 2
Se dice que una matriz cuadrada \(A\) de orden 2 es una matriz de Hadamard si está formada solo por 1’s y \(-1\)’s y cumple que \[ A\cdot A^T = 2I, \] donde \(A^T\) es la traspuesta de \(A\) e \(I\) es la matriz identidad de orden 2.
a) Determine cuál de las siguientes matrices es de Hadamard:
- \(A_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\)
- \(A_2=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\)
b) Si \(A\) es una matriz de Hadamard de orden 2, calcule razonadamente su determinante.
c) Justifique que toda matriz de Hadamard de orden 2 es regular (invertible) y obtenga una expresión para su inversa en términos de \(A^T\).
Solución
Apartado c: Regularidad e inversa de la matriz
Sea \(A\) una matriz de Hadamard de orden 2. Se cumple que:
\[ A\cdot A^T=2I. \]Tomando determinantes en ambos lados, usando la propiedad \(\det(AB)=\det A\det B\):
\[ \det(A\cdot A^T)=\det(A)\det(A^T)=(\det A)^2. \]Además, \(\det(2I)=2^2=4\). Así:
\[ (\det A)^2=4 \quad\Longrightarrow\quad \det A=\pm2. \]Por tanto, como el determinante de una matriz de Hadamard es distinto de cero será una matriz regular o invertible.
Además, partiendo de la ecuación característica de una matriz Hadamard, al tener \(A\cdot A^T=2I\), se puede despejar la inversa de \(A\) multiplicando por \(A^{-1}\) a la izquierda:
\[ A^{-1}A\cdot A^T = A^{-1}(2I) \quad\Longrightarrow\quad A^T = 2A^{-1}. \]Por lo tanto, se llega a la conclusión de que:
\[ A^{-1}=\frac{1}{2}A^T. \]Esta igualdad muestra que la inversa de una matriz de Hadamard de orden 2 se obtiene simplemente dividiendo su traspuesta entre 2.