PROPIEDADES DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ

Conocimientos previos

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¿qué propiedades tiene la inversa de una matriz?

Las matrices inversas tienen diversas propiedades importantes que las convierten en herramientas matemáticas muy útiles:

  1. Existencia: Una matriz cuadrada A tiene inversa si y solo si su determinante no es cero (det(A) ≠ 0).
  2. Unicidad: Si una matriz cuadrada A tiene inversa, entonces esta es única.
  3. Inversa de la inversa: La inversa de la inversa de una matriz A es la propia matriz A.
  4. Inversa del producto: La inversa del producto de dos matrices es igual al producto de las inversas en orden contrario al del producto original.
  5. Inversa de una matriz escalar: La inversa de una matriz escalar kI (donde I es la matriz identidad de orden n) es igual a la matriz escalar (1/k)I.
  6. Inversa de una matriz traspuesta: La inversa de la matriz traspuesta de A es igual a la traspuesta de la  inversa de la matriz A.

PROBLEMAS/ejercicios RESUELTOS: vídeos y pdf para descargar

exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii

    exámenes de pau de matemáticas ii

      Problema 2 - EBAU Región de Murcia Junio 2024

      EBAU Región de Murcia Junio 2024

      Problema 2

      Se dice que una matriz cuadrada \(A\) de orden 2 es una matriz de Hadamard si está formada solo por 1’s y \(-1\)’s y cumple que \[ A\cdot A^T = 2I, \] donde \(A^T\) es la traspuesta de \(A\) e \(I\) es la matriz identidad de orden 2.

      a) Determine cuál de las siguientes matrices es de Hadamard:

      • \(A_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\)
      • \(A_2=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\)

      b) Si \(A\) es una matriz de Hadamard de orden 2, calcule razonadamente su determinante.

      c) Justifique que toda matriz de Hadamard de orden 2 es regular (invertible) y obtenga una expresión para su inversa en términos de \(A^T\).

      Solución

      Apartado c: Regularidad e inversa de la matriz

      Sea \(A\) una matriz de Hadamard de orden 2. Se cumple que:

      \[ A\cdot A^T=2I. \]

      Tomando determinantes en ambos lados, usando la propiedad \(\det(AB)=\det A\det B\):

      \[ \det(A\cdot A^T)=\det(A)\det(A^T)=(\det A)^2. \]

      Además, \(\det(2I)=2^2=4\). Así:

      \[ (\det A)^2=4 \quad\Longrightarrow\quad \det A=\pm2. \]

      Por tanto, como el determinante de una matriz de Hadamard es distinto de cero será una matriz regular o invertible.

      Además, partiendo de la ecuación característica de una matriz Hadamard, al tener \(A\cdot A^T=2I\), se puede despejar la inversa de \(A\) multiplicando por \(A^{-1}\) a la izquierda:

      \[ A^{-1}A\cdot A^T = A^{-1}(2I) \quad\Longrightarrow\quad A^T = 2A^{-1}. \]

      Por lo tanto, se llega a la conclusión de que:

      \[ A^{-1}=\frac{1}{2}A^T. \]

      Esta igualdad muestra que la inversa de una matriz de Hadamard de orden 2 se obtiene simplemente dividiendo su traspuesta entre 2.