Ejercicio 1. (2,5 puntos)

Halla dos números mayores o iguales que 0, cuya suma sea 1, y el producto de uno de ellos por la raíz cuadrada del otro sea máximo.

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Sabiendo que \( F : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( F(x) = e^{x^2} \) es una primitiva de \( f \):

a) [1,25 puntos] Comprueba que \( f \) es creciente.

b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función \( f \), el eje de abscisas y la recta \( x = 1 \).

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

Sea \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por

\(f(x) = a + b \cos(x) + c sen(x) \).

Halla \(a\), \(b\) y \(c\) sabiendo que su gráfica tiene en el punto de abscisa \(x = \frac{\pi}{2}\) a la recta \(y = 1\) como recta tangente, y que la recta \(y = x - 1\) corta a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x = 0\).

Ejercicio 2. (2,5 puntos)

Sea la función \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dada por \( f(x) = x - \frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}} \).

a) [1,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(f\).

b) [1 punto] Halla los extremos absolutos de \(f\) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Sean \( f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) las funciones definidas por \( f(x) = -x^2 + 7 \) y \( g(x) = |x^2 - 1| \).

a) [1 punto] Halla los puntos de intersección de las gráficas de \(f\) y \(g\). Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.

b) [1,5 puntos] Calcula el área de dicho recinto.

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Halla \( \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos(x) \,dx \).

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

Sea la función \( f : (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \ln (x) \), donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano, y los puntos de su gráfica \( A(1, 0) \) y \( B(e, 1) \).

a) [1,5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gráfica de \( f \) en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos \( A \) y \( B \).

b) [1 punto] Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto \( A \).

Ejercicio 2. (2,5 puntos)

Considera la función continua \( f \) definida por

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{x \cos(x) - a sen(x)}{x^3} & \text{si } x < 0 \\ b \cos(x) - 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \]

Calcula \( a \) y \( b \).

Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^3 + 2}{x^2 - 1} \), para \( x \neq -1 \), \( x \neq 1 \). Calcula una primitiva de \( f \) cuya gráfica pase por el punto \( (0, 1) \).

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Halla la función \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) tal que \( f''(x) = x \cos(x) \) y cuya gráfica pasa por los puntos \( \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \) y \( (\pi, 2\pi) \).

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

Sea la función \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = (x^2 + 1)e^x \).

a) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \).

b) [1,5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de \( f \) y los puntos de inflexión de su gráfica (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

Ejercicio 2. (2,5 puntos)

Sea la función derivable \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \begin{cases} a e^{-x} + b \ln(1 - x) & \text{si } x < 0 \\ x + \ln(1 + x) & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \) donde \(\ln\) denota la función logaritmo neperiano.

a) [1,5 puntos] Determina \(a\) y \(b\).

b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x = 0\).

Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Considera la función \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x \).

a) [1 punto] Calcula los puntos de corte de la gráfica de \(f\) con los ejes de coordenadas y esboza dicha gráfica.

b) [1,5 puntos] Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por la gráfica de \(f\) y el eje de abscisas.

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Calcula \( \displaystyle\int \frac{e^{3x} - 1}{e^x - 3} \,dx \). (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \( t = e^x \)).

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

De entre todos los rectángulos de área 25 cm², determina las dimensiones de aquel en el que el producto de las longitudes de sus dos diagonales sea el menor posible.

Ejercicio 2. (2,5 puntos)

Considera la función definida por \( f(x) = \frac{ax^3 + x - 1}{x^2 + bx - 3} \), para \( x^2 + bx - 3 \neq 0 \).

a) [1,5 puntos] Calcula \( a \) y \( b \) para que \( y = x - 2 \) sea una asíntota oblicua de la gráfica de \( f \).

b) [1 punto] Estudia y halla las asíntotas verticales de la gráfica de \( f \) cuando \( a = 0 \) y \( b = 2 \).

Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Considera la función

\[ f(x) = \begin{cases} 1 - e^x & \text{si } x \leq 0 \\ x \cos(x) & \text{si } x > 0 \end{cases} \]

Calcula \( \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \).

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Calcula una primitiva de la función \( f : (1, +\infty) \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = (x-1)^2 \ln \frac{\sqrt{x-1}}{2} \) cuya gráfica pase por el punto \( (5, -7/2) \), donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \( x - 1 = t^2 \)).

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

Sea \(f\) la función definida por \(f(x) = \frac{ax^3 + bx^2 + x - 1}{x^2 - 1}\), para \(x \neq \pm 1\). Sabiendo que su gráfica tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto \((0, 1)\) y es paralela a la recta \(y = 2x\), calcula la asíntota oblicua y los valores de \(a\) y \(b\).

Ejercicio 2. (2,5 puntos)

Considera la función \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \(f(x) = \text{arc tg} (x + \pi)\), donde \(\text{arc tg}\) denota la función arcotangente.

a) [1,5 puntos] Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de \(f\). Estudia y halla, si existen, los puntos de inflexión de \(f\) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) [1 punto] Calcula \(\displaystyle\lim_{x \to -\pi} \frac{\text{arc tg} (x + \pi)}{\text{sen} (x)}\).

Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Halla la función \(f : (2, +\infty) \to \mathbb{R}\) que pasa por el punto \((3, -4 \ln 5)\) y verifica \(f'(x) = \frac{3x^2 + 4x + 12}{x^2 - 4}\), donde \(\ln\) denota la función logaritmo neperiano.

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Sea \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \(f(x) = (x^2 - 3x + 5)e^x\). Halla una primitiva de \(f\) cuya gráfica pase por el punto \((0, 5)\).

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

Sea la función \( f : (0, +\infty) \to \mathbb{R} \), definida por \( f(x) = \ln \left(\frac{x^2 + 1}{x}\right) \), donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano.

a) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

b) [1,5 puntos] Estudia y halla los extremos relativos y absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

Ejercicio 2. (2,5 puntos)

Calcula \(a\) y \(b\) sabiendo que

\[ \lim_{x \to 0} \frac{a(\ln(1+x)-x) + b(e^x-1) + 1 - \cos(x)}{sen^2(x)} = 5 \]

donde \(\ln\) denota la función logaritmo neperiano.

Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Considera la función \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por

\[ f(x) = \int_{0}^{x} \cos(t) sen^2(t) \, dt. \]

Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = \frac{\pi}{4} \).

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Calcula \( \displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{4 + 4e^x}} \). (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \( t = \sqrt{1 + e^x} \)).

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

Sea la función \(f : [-2, 2\pi] \to \mathbb{R}\), definida por \(f(x) = \begin{cases} 5x + 1 & \text{si } -2 \leq x \leq 0 \\ e^x \cos(x) & \text{si } 0 < x \leq 2\pi \end{cases}\)

a) [2 puntos] Halla los extremos relativos y absolutos de \(f\) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) [0,5 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x = \frac{\pi}{2}\).

Ejercicio 2. (2,5 puntos)

Sea \(f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \(f(x) = x (\ln(x))^2\) (\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

a) [1,25 puntos] Calcula, si existen, sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) [1,25 puntos] Calcula, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Calcula \(a\) con \(0 < a < 1\), tal que \(\displaystyle\int_{a}^{1} \frac{\ln(x)}{x} \, dx + 2 = 0\) (\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Considera las funciones \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y \(g : \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R}\) definidas por \(f(x) = 5 - x^2\) y \(g(x) = \frac{4}{x^2}\).

a) [1,25 puntos] Esboza las gráficas de las dos funciones y calcula los puntos de corte entre ellas.

b) [1,25 puntos] Calcula la suma de las áreas de los recintos limitados por las gráficas de \(f\) y \(g\).

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

Considera la función \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \frac{1}{e^x + e^{-x}} \).

a) [1,5 puntos] Estudia y halla los máximos y mínimos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) [1 punto] Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 f(x) \).

Ejercicio 2. (2,5 puntos)

Sea la función \( f : [-2, 2] \to \mathbb{R} \), definida por \( f(x) = x^3 - 2x + 5 \).

a) [1,5 puntos] Determina las abscisas de los puntos, si existen, en los que la pendiente de la recta tangente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos \( (-2, f(-2)) \) y \( (2, f(2)) \).

b) [1 punto] Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de inflexión.

Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Considera la función \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definida por \( f(x) = x|x - 1| \). Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de dicha función y su recta tangente en el punto de abscisa \( x = 0 \).

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Considera la función \( F : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} sen(t^2) \, dt \). Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{xF(x)}{sen(x^2)} \).

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

Determina las longitudes de los lados de un rectángulo de área máxima que está inscrito en una semicircunferencia de 6 cm de radio, teniendo uno de sus lados sobre el diámetro de ella.

Ejercicio 2. (2,5 puntos)

Sabiendo que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{sen(x) - \ln(1+x)}{ax^2 - x + e^x - \cos(2x)} = -\frac{1}{7}\), calcula \(a\) (\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Calcula \(\displaystyle\int_{6}^{12} \frac{1}{9-x^2} \, dx\).

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Considera la función \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \(f(x) = x^2 + 1\).

a) [0,75 puntos] Determina el punto de la gráfica de \(f\) en el que la recta tangente es \(y = 4x - 3\).

b) [1,75 puntos] Haz un esbozo del recinto limitado por la gráfica de \(f\), la recta \(y = 4x-3\) y el eje de ordenadas. Calcula el área del recinto indicado.

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

Halla dos números mayores o iguales que 0, cuya suma sea 1, y el producto de uno de ellos por la raíz cuadrada del otro sea máximo.

Ejercicio 2. (2,5 puntos)

Considera la función \( f(x) = \frac{x^2 + a}{x - b} \), para \( x \neq b \).

a) [1,5 puntos] Calcula \( a \) y \( b \) para que la gráfica de \( f \) pase por el punto \( (1, -2) \) y tenga a la recta \( y = x + 4 \) como asíntota oblicua.

b) [1 punto] En el caso \( a = 5 \) y \( b = 4 \), calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) que pasa por el punto de abscisa \( x = 0 \).

Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Sabiendo que \( F : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( F(x) = e^{x^2} \) es una primitiva de \( f \).

a) [1,25 puntos] Comprueba que \( f \) es creciente.

b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función \( f \), el eje de abscisas y la recta \( x = 1 \).

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Considera la función \( f : [0, +\infty) \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \cos(\sqrt{x}) \). Calcula, si es posible, una primitiva de \( f \) cuya gráfica pase por el punto \( (0, 5) \). Sugerencia: haz el cambio \( t = \sqrt{x} \).

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

De entre todos los rectángulos de diagonal 10 cm (cada una), calcula las dimensiones del que tiene mayor área.

Ejercicio 2. (2,5 puntos)

Considera la función \( f(x) = \frac{1}{x|x|} \), para \( x \neq 0 \).

a) [1 punto] Calcula los intervalos de concavidad y de convexidad de \( f \), así como los puntos de inflexión de su gráfica, si existen.

b) [1,5 puntos] Estudia y calcula las asíntotas de la función. Esboza su gráfica.

Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Determina la función \( f : (0, +\infty) \to \mathbb{R} \), sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto \( (1, 0) \), \( f'(e) = e \) y \( f''(x) = 2\ln(x) + 1 \), para todo \( x > 0 \) (\( \ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Considera las funciones \( f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definidas por \( f(x) = |x^2 - 1| \) y \( g(x) = x + 5 \).

a) [1,25 puntos] Calcula los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que determinan.

b) [1,25 puntos] Determina el área del recinto anterior.

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

Sea \( f : (-1, +\infty) \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = \ln(x+1) + \frac{a}{3x+4} \) (\( \ln \) denota la función logaritmo neperiano).

a) [1 punto] Determina \( a \) sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \) es 1.

b) [1,5 puntos] Para \( a = 0 \), estudia y calcula las asíntotas de \( f \).

Ejercicio 2. (2,5 puntos)

En una fábrica de pinturas, las latas que se utilizan para envasar la pintura tienen forma cilíndrica y una capacidad de 20 litros. Halla las dimensiones del cilindro, con tapas, para que la chapa empleada en su construcción sea mínima.

Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Calcula una primitiva de la función \( f : [0, +\infty) \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \text{arc tg}(\sqrt{x}) \) cuya gráfica pase por el punto \( (0, 1) \) (\( \text{arc tg} \) denota la función arco tangente). Sugerencia: efectúa el cambio \( x = t^2 \).

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Considera la función \( f : (-1, +\infty) \to \mathbb{R} \), definida por \( f(x) = \ln(x+1) \), donde \( \ln \) denota el logaritmo neperiano. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \), el eje de abscisas y la recta \( x = e - 1 \).

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

Calcula \(a\) sabiendo que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{ax}{(\ln x)^3 + 2x} = 1\) (donde \(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

Ejercicio 2. (2,5 puntos)

Calcula los vértices y el área del rectángulo de área máxima inscrito en el recinto limitado por la gráfica de la función \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \(f(x) = -x^2 + 12\) y el eje de abscisas, y que tiene su base sobre dicho eje.

Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Calcula \(\displaystyle\int_3^8 \frac{1}{\sqrt{1+x} - 1} dx\). (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \(t = \sqrt{1+x} - 1\).)

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Considera las funciones \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \(f(x) = x^3 + 2\) y \(g(x) = -x^2 + 2x + 2\).

a) Calcula los puntos de corte de las gráficas de \(f\) y \(g\). Esboza sus gráficas. (1,25 puntos)

b) Determina el área del recinto limitado por las gráficas de \(f\) y \(g\) en el primer cuadrante. (1,25 puntos)

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

Considera la función continua \(f\) definida por \(f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & \text{si } x < -1 \\ ax + b & \text{si } -1 \leq x < 1 \\ \frac{x^2}{x + 1} & \text{si } x \geq 1 \end{cases}\)

a) Calcula \(a\) y \(b\). (1 punto)

b) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de \(f\). (1,5 puntos)

Ejercicio 2. (2,5 puntos)

De entre todos los rectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas, determina las dimensiones de aquel de área máxima que puede inscribirse en la región limitada por las gráficas de las funciones \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), definidas por \(f(x) = 4 - \frac{x^2}{3}\) y \(g(x) = \frac{x^2}{6} - 2\).

Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Sea \(f\) la función definida por \(f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{si } x < 0 \\ (x - 2)^2 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\)

a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de \(f\) con el eje de abscisas y esboza la gráfica de la función. (1 punto)

b) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de \(f\) y por el eje de abscisas. (1,5 puntos)

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Considera la función \(f\) definida por \(f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 2x + 1}\) para \(x \neq 1\). Halla una primitiva de \(f\) que pase por el punto \((2, 6)\).

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

Sea \(f\) la función continua definida por \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + 1}{x - 1} & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{ax + b}{(x + 1)^2} & \text{si } x > 0 \end{cases}\)

a) Determina \(a\) y \(b\) sabiendo que \(f\) tiene un extremo relativo en el punto de abscisa \(x = 2\). (1,5 puntos)

b) Para \(a = 2\) y \(b = -1\), estudia la derivabilidad de \(f\). (1 punto)

Ejercicio 2. (2,5 puntos)

Se quiere cercar un trozo de terreno como el de la figura, de modo que el área del recinto central rectangular sea de \(\frac{200}{\pi}\) metros cuadrados. Sabiendo que el coste de la cerca que se puede poner en los tramos rectos es de 10 euros por metro lineal, y en los tramos circulares de 20 euros por metro lineal, calcula las dimensiones \(a\) y \(b\) del terreno para las que se minimiza el coste del cercado.

Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Considera la función \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \(f(x) = e^x sen(2x)\). Halla la primitiva de \(f\) cuya gráfica pase por el punto \((0, 0)\).

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Considera las funciones \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \(f(x) = 1 - x^2\) y \(g(x) = 2x^2\).

a) Calcula los puntos de corte de las gráficas de \(f\) y \(g\). Esboza el recinto que delimitan. (1,25 puntos)

b) Determina el área del recinto anterior. (1,25 puntos)

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

Sea \(f\) la función continua definida por \(f(x) = \begin{cases} x^2 + 2 & \text{si } x \leq 0 \\ \sqrt{ax + b} & \text{si } 0 < x \leq 2 \\ \frac{-x}{2\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} & \text{si } 2 < x \end{cases}\)

a) Calcula \(a\) y \(b\). (1,25 puntos)

b) Para \(a = -1\) y \(b = 4\), estudia si existe la derivada de \(f\) en \(x = 2\). En caso afirmativo, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en dicho punto. (1,25 puntos)

Ejercicio 2. (2,5 puntos)

Considera la función \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\) (donde \(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(f\). (1 punto)

b) Determina los intervalos de convexidad y de concavidad de \(f\) y los puntos de inflexión de su gráfica. (1,5 puntos)

Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Considera la función \(F : [0, 2\pi] \to \mathbb{R}\) definida por \(F(x) = \int_{0}^{x} 2t \cos(t) \, dt\).

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(F\). (1 punto)

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(F\) en el punto de abscisa \(x = \pi\). (1,5 puntos)

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Calcula \(\displaystyle\int_{0}^{1} x \, \text{arctg}(x) \, dx\) (donde \(\text{arctg}\) denota la función arcotangente).

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

Calcula \(a\) y \(b\) sabiendo que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{a \, \text{sen}(x) + x \, \ln(x+1) + bx^2}{x^3 + x^2} = 2\) (donde \(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

Ejercicio 2. (2,5 puntos)

Sea \(f : [0, 2\pi] \to \mathbb{R}\) la función definida por \(f(x) = e^x(\cos(x) + \text{sen}(x))\).

a) Halla los extremos absolutos de \(f\) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). (2 puntos)

b) Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x = \frac{3\pi}{2}\). (0,5 puntos)

Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Considera la función \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \(f(x) = x^3 - x\). Calcula el área total de los recintos limitados por la gráfica de la función \(f\) y la recta normal a dicha gráfica en el punto de abscisa \(x = 0\).

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Calcula \(\displaystyle\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+x}} \, dx\). (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \(t = \sqrt{1+x}\).)

EJERCICIO 1. (2,5 puntos)

Sea f la función continua definida por f(x) = \(\begin{cases} \frac{e^{\lambda x} - e^x - x}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\ \mu & \text{si } x = 0 \end{cases}\)

a) Calcula \(\lambda\) y \(\mu\). (1,25 puntos)

b) Para \(\lambda = 2\), calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. (1,25 puntos)

EJERCICIO 2. (2,5 puntos)

Considera la función f definida por f(x) = \(\frac{x^4 - 3x^2 + 2}{(x + 2)^3}\), para \(x \neq -2\).

a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f. (1,5 puntos)

b) Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0. (1 punto)

EJERCICIO 3. (2,5 puntos)

Calcula \(\int \frac{2x^3 + 2x^2 - 2x + 7}{x^2 + x - 2} dx\).

EJERCICIO 4. (2,5 puntos)

Considera las funciones f, g : \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definidas por f(x) = \(x^2\) y g(x) = a|x|, con a > 0. Determina el valor de a para que el área total de los recintos limitados por las gráficas de ambas funciones sea de 9 unidades cuadradas.

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Calcula a y b sabiendo que \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{a(1-\cos(x))+b\,\text{sen}(x)-2(e^x-1)}{x^2}=7\).

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Halla a > 0 y b > 0 sabiendo que la gráfica de la función f : \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por f(x) = \(\frac{bx^2}{1+ax^4}\) tiene en el punto (1, 2) un punto crítico.

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Considera la función f : \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por

f(x) = \(1+\int_{0}^{x}te^t\,dt\).

Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Considera la función f definida por f(x) = \(\frac{x^2+1}{x^2-1}\) (para \(x \neq -1\), \(x \neq 1\)). Halla una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (2, 4).

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Se sabe que la gráfica de la función f definida por f(x) = \(\frac{ax^2+bx+2}{x-1}\) (para \(x \neq 1\)) tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto (1, 1) y tiene pendiente 2. Calcula a y b.

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Considera la función continua f : \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por

f(x) = \(\begin{cases} (3x-6)e^x & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{36(\text{sen}(x)-ax)}{x^3} & \text{si } x > 0 \end{cases}\)

a) Calcula a. (1.5 puntos)

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = -1. (1 punto)

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Considera la función f : \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por f(x) = \(4x^3-x^4\).

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (1 punto)

b) Esboza la gráfica de f y calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica y el eje de abscisas. (1.5 puntos)

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Considera la función F : [0, +∞) → \(\mathbb{R}\) definida por

F(x) = \(\int_{0}^{x}(2t+\sqrt{t})\,dt\).

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F en el punto de abscisa x = 1.

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Calcula a, b, c y d sabiendo que la gráfica de la función f : \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por f(x) = \(ax^3 + bx^2 + cx + d\) tiene un punto de inflexión en (0, 4) y su recta normal en el punto (1, 8) es paralela al eje de ordenadas.

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Considera la función f definida por f(x) = \(\frac{x^2-10}{x^2+2x-3}\) (para \(x \neq -3\), \(x \neq 1\)).

a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f. (1.25 puntos)

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (1.25 puntos)

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Considera la función f : \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por f(x) = \(e^x\).

a) Calcula a para que la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) pase por el origen de coordenadas. (1.25 puntos)

b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente a la misma en el punto (1, f(1)) y el eje de ordenadas. (1.25 puntos)

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Calcula \(\int_{1}^{3}|x^2-3x+2|\,dx\).

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Sabiendo que \(\lim\limits_{x \to 0}\left(\frac{x+1}{\ln(x+1)}-\frac{a}{x}\right)\) es finito, calcula a y el valor del límite (\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Sea f la función definida por f(x) = \(\frac{ax^2+b}{a-x}\) (para \(x \neq a\)).

a) Halla a y b sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (2, 3) y tiene una asíntota oblicua cuya pendiente vale -4. (1.25 puntos)

b) Para a = 2 y b = 3, calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. (1.25 puntos)

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Considera la función f : \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por f(x) = \(x^2+|x-1|\).

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (1.25 puntos)

b) Calcula \(\int_{0}^{2}f(x)\,dx\). (1.25 puntos)

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Considera la función f : [0, +∞) → \(\mathbb{R}\) definida por f(x) = \(xe^x\).

a) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y las rectas x = 2, y = x. (1 punto)

b) Determina el área del recinto anterior. (1.5 puntos)

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Sea la función derivable f : \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por f(x) = \(\begin{cases} \frac{ax+b}{x-1} & \text{si } x \leq 0 \\ \ln(1+x) & \text{si } x > 0 \end{cases}\)

(\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

a) Determina a y b. (1.5 puntos)

b) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2. (1 punto)

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Halla a, b y c sabiendo que la función f : \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por f(x) = \(a + b\,\text{sen}(x) + c\,\text{sen}(2x)\) tiene un punto crítico en el punto de abscisa x = \(\pi\) y la recta y = \(-\frac{1}{2}x + 3\) es normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Considera la función f : (0, +∞) → \(\mathbb{R}\) definida por f(x) = \((\ln(x))^2\) (\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f, así como sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). (1 punto)

b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función f y las rectas y = 0, x = 1, x = e. (1.5 puntos)

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Calcula \(\int_{0}^{2}\frac{1}{1+\sqrt{e^x}}\,dx\). (Sugerencia: efectúa el cambio de variable t = \(\sqrt{e^x}\).)

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Sea la función continua f : \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por

f(x) = \(\begin{cases} \frac{\ln(e^x+x^3)}{x} & \text{si } x < 0 \\ 4x^2+a & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ b+\text{sen}(\pi x) & \text{si } 1 \leq x \end{cases}\)

(\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano). Determina a y b.

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Sea f : \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por f(x) = \(\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\).

a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f. (1.25 puntos)

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (1.25 puntos)

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Calcula \(\int_{0}^{\pi/2}(2\text{sen}^2(x)-\cos^2(x))\,dx\).

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Considera las funciones f, g : \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definidas por f(x) = |x| - 2 y por g(x) = 4 - x^2.

a) Halla los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que delimitan. (1 punto)

b) Determina el área del recinto anterior. (1.5 puntos)

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Considera la función f : \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por f(x) = \(e^x(x^2-5x+6)\). Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f y los puntos de inflexión de su gráfica.

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Calcula \(\int_{0}^{\pi}x\,\text{sen}^2(x)\,dx\).

EJERCICIO 5 (2.5 puntos)

Sea la función derivable f : \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por

f(x) = \(\begin{cases} e^{2ax-4b} & \text{si } x < 1 \\ 1-x\ln x & \text{si } x \geq 1 \end{cases}\)

(\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

a) Determina los valores de a y b. (1.75 puntos)

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2. (0.75 puntos)

EJERCICIO 6 (2.5 puntos)

Considera las funciones f, g : \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definidas por f(x) = |x| y g(x) = \(x^2-2\).

a) Calcula los puntos de corte de las gráficas de f y g. Esboza el recinto que determinan. (1 punto)

b) Determina el área del recinto anterior. (1.5 puntos)

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Considera la función f definida por f(x) = \(\frac{x^2-2x-3}{x^2-1}\) para \(x \neq 1, -1\).

a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f. (1.25 puntos)

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (1.25 puntos)

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Calcula a > 0 sabiendo que el área de la región determinada por la gráfica de la función f(x) = \(xe^{3x}\), el eje de abscisas y la recta x = a vale \(\frac{1}{9}\).

EJERCICIO 5 (2.5 puntos)

Sea f : [0, 2π] → \(\mathbb{R}\) la función definida por f(x) = \(\frac{text{sen }x}{2-\cos x}\).

a) Halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). (2 puntos)

b) Determina la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = \(\frac{\pi}{3}\). (0.5 puntos)

EJERCICIO 6 (2.5 puntos)

Sea f la función dada por f(x) = \(\frac{3x^2+4}{(x-2)^2}\) para \(x \neq 2\).

a) Calcula \(\int f(x)\,dx\). (2 puntos)

b) Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (3, 5). (0.5 puntos)

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Calcula a sabiendo que \(\lim\limits_{x \to 0}\left(\frac{1}{\ln(1-x)}-\frac{ax-1}{x}\right)=\frac{7}{2}\) (\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Sea f la función definida por f(x) = \(\frac{-x^3+2x-3}{x^2-x}\) para \(x \neq 0\), \(x \neq 1\). Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (2, 3\(\ln\)2), donde \(\ln\) denota la función logaritmo neperiano.

EJERCICIO 5 (2.5 puntos)

Una familia desea acotar una zona rectangular en el jardín de su casa para dedicarla al cultivo ecológico. Para ello dispone de 96 metros de valla, pero necesita dejar una abertura de 4 metros en uno de los laterales para instalar una puerta. Determina las dimensiones de la zona rectangular de área máxima que puede acotarse de esta manera y el valor de dicha área.

EJERCICIO 6 (2.5 puntos)

Calcula \(\int\ln(x^2+2x+2)\,dx\) donde \(\ln\) denota la función logaritmo neperiano.

(Sugerencia: efectúa el cambio de variable t = x + 1).

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

Sabiendo que \( \lim_{x \to 0} \frac{xe^x - \ln(1 + x) - (a + 1)x}{x^2} \) es finito, calcula \(a\) y el valor del límite (ln denota la función logaritmo neperiano).

Ejercicio 2. (2,5 puntos)

Determina la función \( f : (-1, +\infty) \to \mathbb{R} \), sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto \( (0, 1) \), \( f'(0) = 0 \) y \( f''(x) = \frac{1}{x + 1} \).

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{|x|^2 - x}{2 - x} \) para \( x \neq 2 \).

a) Estudia la derivabilidad de \( f \). (1,25 puntos)

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \). (1,25 puntos)

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Considera las funciones \( f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definidas por \( f(x) = -4x + 2 \) y \( g(x) = -x^2 + 2x + c \).

a) Halla el valor de \( c \) sabiendo que sus gráficas se cortan en el punto en el que \( g \) alcanza su máximo. (1 punto)

b) Para \( c = -3 \), calcula el área de la región limitada por ambas gráficas. (1,5 puntos)

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1} \) para \( x \neq 1, -1 \).

a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de \( f \). (1,25 puntos)

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \). (1,25 puntos)

Ejercicio 2. (2,5 puntos)

Determina la única función derivable \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) que cumple que \( f(0) = 1 \), \( f'(0) = 1 \) y \( f''(x) = \frac{e^x}{x+2} \).

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Se sabe que la función \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dada por \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) tiene un punto crítico en \( x = 0 \), que su gráfica pasa por \( (0, 3) \) y que la recta \( y = -2x + 2 \) es tangente a dicha gráfica en el punto de abscisa \( x = 1 \). Calcula \( a, b, c \) y \( d \).

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Calcula el valor de \( a > 0 \) para que el área comprendida entre la parábola \( y = 3x^2 - 2ax \) y el eje de abscisas sea 4 unidades cuadradas.

Ejercicio 1. (2,5 puntos)

Sea \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = (5 - x)e^{x-4} \). Determina los puntos de la gráfica de \( f \) cuya recta tangente tiene pendiente máxima.

Ejercicio 2. (2,5 puntos)

Considera la función \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(t) = \frac{1}{1 + e^t} \).

a) Calcula \( \int f(t) dt \) (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \( x = 1 + e^t \)). (1,5 puntos)

b) Se define \( g(x) = \int_0^x f(t) dt \). Calcula \( \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} \). (1 punto)

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Se sabe que la función \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dada por \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 1 \), tiene un punto crítico en \( x = 2 \) y que la recta normal a su gráfica en el punto de abscisa \( x = 1 \) es \( y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \). Calcula \( a, b \) y \( c \).

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Calcula \( \int \cos(\ln x) dx \) (ln denota la función logaritmo neperiano).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Dada la función \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = 6 - \frac{1}{6}x^2 \), calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima, de lados paralelos a los ejes, inscrito en el recinto comprendido entre la gráfica de \( f \) y la recta \( y = 0 \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Determina la función \( f : (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) sabiendo que es derivable, que su función derivada cumple

\[ f'(x) = \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} \]

(ln denota la función logaritmo neperiano) y que la gráfica de \( f \) pasa por el punto \( (1, 0) \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Se sabe que la función \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), dada por \( f(x) = sen(x) + ax + b \) para \( x \leq 0 \) y \( f(x) = \frac{\ln(x+1)}{x} \) para \( x > 0 \) (ln denota la función logaritmo neperiano) es derivable. Calcula \( a \) y \( b \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea la función \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dada por \( f(x) = xe^{-x^2} \).

(a) [1,25 puntos] Calcula los puntos de corte de la gráfica de \( f \) con los ejes coordenados y los extremos relativos de \( f \) (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).

(b) [1,25 puntos] Determina \( a > 0 \) de manera que sea \( \frac{1}{4} \) el área del recinto determinado por la gráfica de \( f \) en el intervalo \( [0, a] \) y el eje de abscisas.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^2 + 3x + 4}{2x + 2} \) para \( x \neq -1 \).

(a) [1,5 puntos] Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de \( f \).

(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sea la función \( f : (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \frac{1 + e^x}{1 - e^x} \). Halla la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (1, 1) \). (Sugerencia: cambio de variable \( t = e^x \)).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Considera la función \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = (x - a)e^x \).

(a) [1,25 puntos] Determina \( a \) sabiendo que la función tiene un punto crítico en \( x = 0 \).

(b) [1,25 puntos] Para \( a = 1 \), calcula los puntos de inflexión de la gráfica de \( f \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Considera las funciones \( f : (-2, +\infty) \to \mathbb{R} \), definida por \( f(x) = \ln(x + 2) \) (ln denota la función logaritmo neperiano) y \( g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definida por \( g(x) = \frac{1}{2}(x - 3) \).

(a) [1 punto] Esboza el recinto que determinan la gráfica de \( f \), la gráfica de \( g \), la recta \( x = 1 \) y la recta \( x = 3 \). (No es necesario calcular los puntos de corte entre las dos gráficas).

(b) [1,5 puntos] Determina el área del recinto anterior.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Calcula \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - e^{-2x} - 2x}{sen^2(x)} \]

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula \[ \int \ln\left(\frac{x^2 + 1}{x}\right) dx \] (ln denota la función logaritmo neperiano).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Se sabe que la función \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), dada por \[ f(x) = \begin{cases} x^2 - ax + 2b & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{\ln(x+1)}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases} \] (ln denota la función logaritmo neperiano) es derivable. Calcula \( a \) y \( b \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sean las funciones \( f, g : [0, \pi] \to \mathbb{R} \) definidas por \( f(x) = sen(x) \) y \( g(x) = sen(2x) \).

(a) [1 punto] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.

(b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas y las rectas \( x = 0 \) y \( x = \frac{\pi}{3} \).

Ejercicio 1A. [2,5 puntos]

Se considera la función \( f : (−2 π, 2 π) → R \) definida por \( f(x) = \frac{\cos(x)}{2 + \cos(x)} \).

(a) [1,5 puntos] Calcula sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

(b) [1 punto] Halla sus máximos y mínimos relativos (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2A. [2 puntos]

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{x^4}{x^2 − 1} \) para \( x \neq 1, −1 \).

(a) [2 puntos] Halla todas las funciones primitivas de \( f \).

(b) [0,5 puntos] Calcula la primitiva que pasa por (2, 0).

Ejercicio 1B. [2,5 puntos]

Se sabe que la gráfica de la función \( f : R → R \), dada por \( f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c \), tiene un punto de inflexión para \( x = 1 \) y que la ecuación de la recta tangente a dicha gráfica en ese punto es \( y = −6x + 6 \).

Calcula \( a \), \( b \) y \( c \).

Ejercicio 2B

Considera las funciones \( f, g : [−π, π] → R \) definidas por \( f(x) = \cos(x) \) y \( g(x) = sen(x) \).

(a) [1 punto] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.

(b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto delimitado por las gráficas de \( f \) y de \( g \) en el intervalo \( \left[-\frac{3π}{4}, \frac{π}{4}\right] \).

Ejercicio 1A. [2 puntos]

Según un determinado modelo, la concentración en sangre de cierto medicamento viene dada por la función \( C(t) = te^{-t/2} \) mg/ml, siendo \( t \) el tiempo en horas transcurridas desde que se le administra el medicamento al enfermo.

(a) [2 puntos] Determina, si existe, el valor máximo absoluto de la función y en qué momento se alcanza.

(b) [0,5 puntos] Sabiendo que la máxima concentración sin peligro para el paciente es 1 mg/ml, señala si en algún momento del tratamiento hay riesgo para el paciente.

Ejercicio 2A. [2,5 puntos]

Dado un número real \( a > 0 \), considera la función \( f : R → R \), dada por \( f(x) = x^2 - ax \), y la recta \( y = 2ax \).

Determina \( a \) sabiendo que el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \) y la recta anterior es 36.

Ejercicio 1B. [2,5 puntos]

Dada \( f : (1, e) → R \) la función definida por \( f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) \) (ln denota la función logaritmo neperiano), determina la recta tangente a la gráfica de \( f \) que tiene pendiente máxima.

Ejercicio 2B

Sea \( f : \left[0, \frac{\pi}{6}\right] → R \) una función continua y sea \( F \) la primitiva de \( f \) que cumple \( F(0) = \frac{\pi}{3} \) y \( F(\frac{\pi}{6}) = \pi \). Calcula:

(a) [1 punto] \( \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (3f(x) - \cos(x)) dx \)

(b) [1,5 puntos] \( \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} sen(F(x))f(x) dx \)

Ejercicio 1A. [2,5 puntos]

Dada la función \( f : (0, 2\pi) → R \), definida por \( f(x) = sen(x) + \cos(x) \), calcula sus máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de la gráfica de \( f \) (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2A. [2,5 puntos]

Sea \( f : R → R \) la función dada por

\[ f(x) = \begin{cases} -x^2 + 6x - 8 & \text{si } x \leq 4 \\ x^2 - 6x + 8 & \text{si } x > 4 \end{cases} \]

(a) [1,5 puntos] Calcula los puntos de corte entre la gráfica de \( f \) y la recta \( y = 2x - 4 \). Esboza el recinto que delimitan la gráfica de \( f \) y la recta.

(b) [1 punto] Calcula el área del recinto anterior.

Ejercicio 1B. [2,5 puntos]

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{ax + b}{cx + 1} \) para \( cx + 1 \neq 0 \).

Determina \( a \), \( b \) y \( c \) sabiendo que la recta \( x = -1 \) es una asíntota vertical a la gráfica de \( f \) y que \( y = 2x + 4 \) es la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \).

Ejercicio 2B. [2,5 puntos]

Considera la función \( f : R → R \) dada por \( f(x) = -4x^2 + a \), siendo \( a > 0 \) un número real.

Esboza el recinto limitado por la gráfica de \( f \) y la recta \( y = 0 \). Calcula \( a \) sabiendo que el área del recinto es 18.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Considera la función \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \[ f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + c & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - sen(x)} & \text{si } x > 0 \end{cases} \]

Determina \( a, b \) y \( c \) sabiendo que \( f \) es continua, alcanza un máximo relativo en \( x = -1 \) y la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -2 \) tiene pendiente 2.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = ax \ln(x) - bx \) para \( x > 0 \) (ln denota la función logaritmo neperiano).

Determina \( a \) y \( b \) sabiendo que \( f \) tiene un extremo relativo en \( x = 1 \) y que \[ \int_1^2 f(x) dx = 8 \ln(2) - 9 \]

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = a \ln(x) + bx^2 + x \) para \( x > 0 \) (ln denota logaritmo neperiano).

(a) [1,5 puntos] Halla \( a \) y \( b \) sabiendo que \( f \) tiene extremos relativos en \( x = 1 \) y en \( x = 2 \).

(b) [1 punto] ¿Qué tipo de extremos tiene \( f \) en \( x = 1 \) y en \( x = 2 \)?

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Considera la función \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = e^{-2x} \).

(a) [0,75 puntos] Determina el punto de la gráfica de \( f \) en el que la recta tangente es \( y = -2e^x \).

(b) [0,5 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de \( f \), la recta \( y = -2e^x \) y el eje de ordenadas.

(c) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio 1A. [2,5 puntos]

Halla los coeficientes \( a \), \( b \) y \( c \) sabiendo que la función \( f : R → R \) definida por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) tiene en \( x = 1 \) un punto de derivada nula que no es extremo relativo y que la gráfica de \( f \) pasa por el punto \( (1, 1) \).

Ejercicio 2A

Considera las funciones \( f \) y \( g : R → R \) dadas por \( f(x) = 6x - x^2 \) y \( g(x) = |x^2 - 2x| \).

(a) [1,25 puntos] Esboza el recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \) y calcula los puntos de corte de dichas gráficas.

(b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \).

Ejercicio 1B. [2,5 puntos]

Determina \( k \neq 0 \) sabiendo que la función \( f : R → R \) definida por

\[ f(x) = \begin{cases} 3 - kx^2 & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{2}{kx} & \text{si } x > 1 \end{cases} \]

es derivable.

Ejercicio 2B

Considera las funciones \( f \) y \( g : R → R \) definidas por \( g(x) = -\frac{x^2}{4} \) y \( f(x) = 3 - x^2 \).

(a) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \) y comprueba que también es tangente a la gráfica de \( g \). Determina el punto de tangencia con la gráfica de \( g \).

(b) [0,75 puntos] Esboza el recinto limitado por la recta \( y = 4 - 2x \) y las gráficas de \( f \) y \( g \). Calcula todos los puntos de corte entre las gráficas (y la recta).

(c) [0,75 puntos] Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio 1A. [2,5 puntos]

Calcula \[ \lim_{x→0} \frac{tg(x) - x}{x - sen(x)} \]

Ejercicio 2A

Considera las funciones \( f \) y \( g : R → R \) definidas por \( f(x) = -x^2 - x + 3 \) y \( g(x) = |x| \).

(a) [1,25 puntos] Esboza el recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \) y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.

(b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio 1B. [2,5 puntos]

Se desea construir una caja sin tapadera de base cuadrada. El precio del material es de 18 euros/m² para los laterales y de 24 euros/m² para la base. Halla las dimensiones de la caja de mayor volumen que se puede construir si disponemos de 50 euros.

Ejercicio 2B

Se sabe que la función \( f : [0, +∞) → R \) dada por

\[ f(x) = \begin{cases} \sqrt{ax} & \text{si } 0 \leq x \leq 8 \\ \frac{x^2 - 32}{x - 4} & \text{si } x > 8 \end{cases} \]

es continua.

(a) [0,5 puntos] Determina \( a \).

(b) [2 puntos] Para \( a = 8 \), calcula \( \int_{0}^{10} f(x) dx \).

Ejercicio 1A. [2,5 puntos]

Considera un triángulo isósceles en el que el lado desigual mide 8 cm y la altura correspondiente mide 5 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en dicho triángulo.

Ejercicio 2A

Siendo \( a > 1 \), considera el rectángulo de vértices \( A(1, 0) \), \( B(1, 1) \), \( C(a, 1) \) y \( D(a, 0) \). La gráfica de la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) para \( x \neq 0 \) divide al rectángulo anterior en dos recintos.

(a) [0,5 puntos] Haz un esbozo de la gráfica de \( f \) y del rectángulo descrito.

(b) [2 puntos] Determina el valor de \( a \) para el que los dos recintos descritos tienen igual área.

Ejercicio 1B. [2,5 puntos]

Sea \( f : R → R \) la función definida por \( f(x) = x + xe^{-x} \).

(a) [1,25 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) que es paralela a la recta \( x - y + 1 = 0 \).

(b) [1,25 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de \( f \).

Ejercicio 2B. [2,5 puntos]

Calcula \( \int_{0}^{\ln(2)} \frac{1}{1 + e^x} dx \) donde \( \ln \) denota logaritmo neperiano (sugerencia \( t = e^x \)).

Ejercicio 1A

Se desea construir un rectángulo de área máxima. La base está situada sobre el eje OX, un vértice está en la recta \( y = x \) y el otro, en la recta \( y = 4 - x \). Se pide:

(a) [0,25 puntos] Halla la altura del rectángulo en función de \( a \).

(b) [1 punto] Halla la base del rectángulo en función de \( a \).

(c) [1,25 puntos] Encuentra el valor de \( a \) que hace máximo el área del rectángulo.

Ejercicio 2A

Sea \( f : R → R \) la función definida por \( f(x) = e^{2-x} \).

(a) [0,75 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 2 \).

(b) [0,5 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de \( f \), el eje de ordenadas y la recta \( x + y = 3 \).

(c) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto indicado.

Ejercicio 1B

Considera la función \( f : R → R \) dada por

\[ f(x) = \begin{cases} -x e^{x-1} & \text{si } x \leq 0 \\ x e^{x-1} & \text{si } 0 < x \leq 1 \\ x e^{1-x} & \text{si } 1 < x \end{cases} \]

(a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de \( f \) en \( x = 0 \) y en \( x = 1 \).

(b) [1,5 puntos] Estudia la existencia de asíntotas horizontales de la gráfica de \( f \).

Ejercicio 2B

Considera la función \( f : \left(-\frac{e}{2}, +\infty\right) → R \) definida por \( f(x) = \ln(2x+e) \), donde \( \ln \) denota logaritmo neperiano.

(a) [0,75 puntos] Haz un esbozo de la gráfica de \( f \) calculando sus puntos de corte con los ejes coordenados.

(b) [1,75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \) y los ejes de coordenadas.

Ejercicio 1A

Se desea construir una canaleta para la recogida de agua, cuya sección es como la de la figura. La base y los costados deben medir 10 cm y se trata de darle la inclinación adecuada a los costados para obtener una sección de área máxima. Se pide:

(a) [0,25 puntos] Halla la altura de la canaleta en función de \( x \).

(b) [0,75 puntos] Halla el área de la sección de la canaleta en función de \( x \).

(c) [1,5 puntos] Encuentra el valor de \( x \) que hace máximo dicho área.

Ejercicio 2A. [2,5 puntos]

Determina la función \( f : (1, +\infty) → R \) sabiendo que \( f''(x) = \frac{1}{(x - 1)^2} \) y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 2 \) es \( y = x + 2 \).

Ejercicio 1B

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{e^x}{x - 1} \) para \( x \neq 1 \).

(a) [0,75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de \( f \).

(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) y halla sus máximos y mínimos relativos (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

(c) [0,75 puntos] Esboza la gráfica de \( f \) indicando sus puntos de corte con los ejes coordenados.

Ejercicio 2B

Sea \( f : R → R \) la función definida por \( f(x) = x \cos\left(\frac{x}{2}\right) \).

(a) [1,75 puntos] Calcula \( \int f(x) dx \).

(b) [0,75 puntos] Encuentra la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (0, 1) \).

Ejercicio 1A. [2,5 puntos]

Una imprenta recibe un encargo para realizar una tarjeta rectangular con las siguientes características: la superficie rectangular que debe ocupar la zona impresa debe ser de 100 cm², el margen superior tiene que ser de 2 cm, el inferior de 3 cm y los laterales de 5 cm cada uno.

Calcula, si es posible, las dimensiones que debe tener la tarjeta de forma que se utilice la menor cantidad de papel posible.

Ejercicio 2A. [2,5 puntos]

Determina la función \( f : R → R \) tal que \( f''(x) = xe^x \), cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas y tiene un extremo relativo en \( x = 1 \).

Ejercicio 1B

Considera la función \( f : R → R \) definida por \( f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \).

(a) [2 puntos] Estudia y determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de \( f \). Calcula los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

(b) [0,5 puntos] Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \).

Ejercicio 2B

Considera el recinto del primer cuadrante limitado por el eje OX, la recta \( y = x \), la gráfica \( y = \frac{1}{x^3} \) y la recta \( x = 3 \).

(a) [0,5 puntos] Haz un esbozo del recinto descrito.

(b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto.

(c) [0,5 puntos] Si consideras la gráfica \( y = \frac{1}{x} \) en lugar de \( y = \frac{1}{x^3} \), el área del recinto correspondiente ¿será mayor o será menor que la del recinto inicial? ¿por qué?

Ejercicio 1A. [2,5 puntos]

Se quiere hacer una puerta rectangular coronada por un semicírculo. El hueco de la puerta tiene que tener 16 metros cuadrados.

Si es posible, determina la base \( x \) para que el perímetro sea mínimo.

Ejercicio 2A

Considera la región limitada por las curvas \( y = x^2 \) e \( y = -x^2 + 4x \).

(a) [0,75 puntos] Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte de ambas curvas.

(b) [0,75 puntos] Expresa el área como una integral.

(c) [1 punto] Calcula el área.

Ejercicio 1B

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^2}{x - 1} \) para \( x \neq 1 \).

(a) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de \( f \).

(b) [1,5 puntos] Estudia y determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de \( f \). Calcula los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2B. [2,5 puntos]

Calcula \( \int_{1}^{16} \frac{dx}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}} \) (sugerencia \( t = \sqrt[4]{x} \)).

Ejercicio 1A

Se sabe que la función \( f : R → R \) dada por

\[ f(x) = \begin{cases} 3x + 2 & \text{si } x < 0 \\ x^2 + 2a\cos(x) & \text{si } 0 \leq x < \pi \\ ax^2 + b & \text{si } x \geq \pi \end{cases} \]

es continua.

(a) [1,5 puntos] Determina \( a \) y \( b \).

(b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de \( f \).

Ejercicio 2A

Considera la función dada por \( f(x) = \sqrt[3]{3 + |x|} \) para \( x \in [-3, 3] \).

(a) [0,5 puntos] Expresa la función \( f \) definida a trozos.

(b) [2 puntos] Halla \( \int_{-3}^{3} f(x) dx \).

Ejercicio 1B. [2,5 puntos]

Calcula \[ \lim_{x→0} \left(\frac{1}{x} - \frac{\cos x}{sen x}\right) \]

Ejercicio 2B. [2,5 puntos]

Sea \( f : R → R \) la función definida por \( f(x) = x \arctan(x) \). Determina la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (0, \pi) \).

Ejercicio 1A

Se considera la función \( f \) dada por \( f(x) = \frac{-3x^2 + 2}{x - 1} \) para \( x \neq 1 \).

(a) [1,5 puntos] Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de \( f \).

(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \).

Ejercicio 2A

Sea \( f \) la función definida como \( f(x) = (x+2) \ln(x) \) para \( x > 0 \), donde \( \ln(x) \) representa al logaritmo neperiano de \( x \).

(a) [1,75 puntos] Calcula \( \int f(x) dx \).

(b) [0,75 puntos] Encuentra la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (1, 0) \).

Ejercicio 1B. [2,5 puntos]

Una cuerda de un metro de longitud se divide en dos trozos con los que se construyen un cuadrado y una circunferencia respectivamente.

Determina, si es posible, las longitudes de los trozos para que la suma de las áreas sea mínima.

Ejercicio 2B

(a) [2 puntos] Halla \( \int \frac{x^2}{(1 + x^3)^{3/2}} dx \) (sugerencia \( t = 1 + x^3 \)).

(b) [0,5 puntos] Halla la primitiva cuya gráfica pasa por \( (2, 0) \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Se necesita construir un depósito cilíndrico, con tapas inferior y superior, con capacidad de \(20\pi \, \text{m}^3\). El material para las tapas cuesta 10 euros cada \(\text{m}^2\) y el material para el resto del cilindro 8 euros cada \(\text{m}^2\). Calcula, si existe, el radio de las tapas y la altura del cilindro que hace que el coste total sea mínimo.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sea \(I = \int_{0}^{8} \frac{1}{2 + \sqrt{x+1}} \, dx\).

a) [1,25 puntos] Expresa \(I\) aplicando el cambio de variable \(t = 2 + \sqrt{x+1}\).

b) [1,25 puntos] Calcula el valor de \(I\).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Considera la función \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) dada por \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). Calcula \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) sabiendo que \(f\) tiene un extremo relativo en \((0, 1)\) y su gráfica un punto de inflexión en \((1, -1)\).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Considera la región limitada por la gráfica de la función dada por \(f(x) = \sqrt{2x - 2}\) para \(x \geq 1\), la recta \(y = x - 5\) y el eje de abscisas.

a) [0,75 puntos] Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte entre la gráfica de \(f\) y las rectas.

b) [0,75 puntos] Expresa mediante integrales el área del recinto anterior.

c) [1 punto] Calcula el área.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Calcula la función polinómica, de grado 3, de la que se sabe que tiene un extremo relativo en el punto (0, 2) y que la tangente a su gráfica en el punto de abscisa \(x = 1\) es la recta \(x + y = 3\).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula \(\int_{0}^{3} \frac{1}{1+\sqrt{3x}} dx\) (sugerencia \(t = \sqrt{3x}\)).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Considera la función definida por \(f(x) = -x + \frac{4}{x^2}\) para \(x \neq 0\).

a) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de \(f\).

b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(f\) y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de \(f\).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Calcula \(\int_{0}^{1} \frac{x^2+1}{(x+1)^2} dx\).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sabiendo que \(\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{e^x - 1} - \frac{m}{2x} \right)\) es finito, calcula \(m\) y el valor del límite.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sea \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \(f(x) = x^4\). Encuentra la recta horizontal que corta a la gráfica de \(f\) formando con ella un recinto con área \(\frac{8}{5}\).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \(f(x) = x^2 e^{-x^2}\).

a) [0,75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de \(f\).

b) [1,25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(f\) y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de \(f\).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Calcula \(\int \frac{x}{1 + \sqrt{x}} \, dx\) (sugerencia: \(t = \sqrt{x}\)).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sabiendo que \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1) - a sen(x) + x \cos(3x)}{x^2}\) es finito, calcula \(a\) y el valor del límite (\(\ln\) denota logaritmo neperiano).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función \(f\) en el punto de abscisa \(x = 1\) sabiendo que \(f(0) = 0\) y \(f'(x) = \frac{(x-1)^2}{x+1}\) para \(x > -1\).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \(f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}\).

a) [0,75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de \(f\). Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de \(f\).

b) [1,25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de \(f\) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de \(f\).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \(f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función dada por \(f(x) = \ln(x)\) (\(\ln\) representa logaritmo neperiano).

a) [0,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x = 1\).

b) [2 puntos] Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de \(f\), la recta \(y = x - 1\) y la recta \(x = 3\). Calcula su área.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sabiendo que \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(\pi x)(1 + \cos(\pi x))}{sen(x)}\) es finito, calcula \(a\) y el valor del límite.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Considera la función \(f\) dada por \(f(x) = \ln(x) + x\) para \(x > 0\).

a) [1,5 puntos] Halla todas las primitivas de \(f\).

b) [0,5 puntos] Halla \(\int_{1}^{3} f(x) \, dx\).

c) [0,5 puntos] Determina la primitiva de \(f\) que toma el valor 3 para \(x = 1\).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Se dispone de un cartón cuadrado de 50 cm de lado para construir una caja sin tapadera a partir del cartón. Para ello, se corta un cuadrado de \(x\) cm de lado en cada una de las esquinas. Halla el valor de \(x\) para que el volumen de la caja sea máximo y calcula dicho volumen.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función dada por \(f(x) = \frac{x^2}{(x^2 + 1)^2}\). Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \(f\), el eje de abscisas y las rectas \(x = 0\) y \(x = 1\).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \), donde \(\ln\) denota logaritmo neperiano.

a) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de \( f \).

b) [1,5 puntos] Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

De la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = ae^x - bx \), donde \( a, b \in \mathbb{R} \), se sabe que su gráfica tiene tangente horizontal en \( x = 0 \) y que \(\int_{0}^{1} f(x) \, dx = e - \frac{3}{2}\). Halla los valores de \( a \) y \( b \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \). Determina \( a \), \( b \), \( c \) sabiendo que la gráfica de \( f \) tiene tangente horizontal en el punto de abscisa \( x = 1 \) y un punto de inflexión en \((-1, 5)\).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \frac{3x(2m - x)}{m^3} \), con \( m > 0 \). Calcula el área del recinto encerrado por la gráfica de \( f \) y el eje \( OX \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = (e^{ax} + b)x \), con \( a \neq 0 \). Calcula \( a \) y \( b \) sabiendo que \( f \) tiene un extremo relativo en \( x = 0 \) y su gráfica, un punto de inflexión en el punto cuya abscisa es \( x = 1 \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula el valor de \( a > 0 \) para el que se verifica \( \int_{0}^{a} \frac{x}{2 + x^2} \, dx = 1 \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

De un terreno se desea vender un solar rectangular de \( 12\,800 \, \text{m}^2 \) dividido en 3 parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas). Determina las dimensiones del solar y de cada una de las tres parcelas para que la longitud de la valla utilizada sea mínima.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dada por \( f(x) = -x^2 + mx \) siendo \( m > 0 \).

Esboza el recinto limitado por la gráfica de \( f \) y la recta \( y = -mx \) y calcula el valor de \( m \) para que el área de dicho recinto sea 36.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Se quiere construir un bote de conservas cilíndrico, con tapa, de un litro de capacidad. Calcula las dimensiones del bote para que en su construcción se utilice la menor cantidad posible de hojalata.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula \(\int \frac{\sqrt{2x+1}}{2x+1+\sqrt{2x+1}} dx\) (sugerencia: \(t = \sqrt{2x+1}\)).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \(f(x) = |x^2 - 4|\).

a) [1,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(f\) y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x = -1\).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Determina la función \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) tal que \(f''(x) = -2 sen(2x)\), \(f(0) = 1\) y \(f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\). Halla \(a\), \(b\) y \(c\) sabiendo que la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x = 0\) es \(y = 3x - 1\) y que \(f\) tiene un extremo relativo en \(x = -2\).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula \(\int_{0}^{1} x^2 e^{-x} dx\).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \(f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}\).

a) [0,75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de \(f\).

b) [1,25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(f\) y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de \(f\).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Considera la función \(f: [0, +\infty) \to \mathbb{R}\) dada por \(f(x) = \sqrt{x}\).

a) [0,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x = 4\).

b) [2 puntos] Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de \(f\), la recta \(y = x - 2\) y la recta \(x = 4\). Calcula su área.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para \(13.5 \, \text{m}^3\). Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula las dimensiones del depósito para que el gasto en chapa sea el mínimo posible.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula \(\int \frac{-x^2}{x^2 + x - 2} \, dx\).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sabiendo que \(\lim_{x \to 0} \frac{ax^2 + bx + 1 - \cos(x)}{sen(x^2)}\) es finito e igual a uno, calcula los valores de \(a\) y \(b\).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Determina la función \(f: (0, \infty) \to \mathbb{R}\) sabiendo que \(f''(x) = \ln(x)\) y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto \(P(1, 2)\) (\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 80 euros/metro y la de los otros lados 10 euros/metro, halla las dimensiones del campo de área máxima que puede vallarse con 28 800 euros.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula \(\int \frac{dx}{(x - 2)\sqrt{x + 2}}\) (Sugerencia: \(\sqrt{x + 2} = t\)).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Determina \(a\) y \(b\) sabiendo que \(b > 0\) y que la función \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida como \[ f(x) = \begin{cases} a \cos(x) + 2x & \text{si } x < 0, \\ a^2 \ln(x + 1) + b(x + 1) & \text{si } x \geq 0, \end{cases} \] es derivable (\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \(g\) la función definida por \(g(x) = \ln(x)\) para \(x > 0\) (\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano). Calcula el valor de \(a > 1\) para el que el área del recinto limitado por la gráfica de \(g\), el eje de abscisas y la recta \(x = a\) es 1.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Halla \(a\) y \(b\) sabiendo que es continua la función \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida como \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x + \cos(x) - a}{e^x x^2}, & \text{si } x \neq 0, \\ b, & \text{si } x = 0. \end{cases} \]

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sea \(f\) la función definida por \(f(x) = |\ln(x)|\) para \(x > 0\) (\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

a) [0,5 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de \(f\) y la recta \(y = 1\).

b) [0,5 puntos] Calcula los puntos de corte de la gráfica de \(f\) con la recta \(y = 1\).

c) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto citado.

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \(f(x) = (x^2 + 3x + 1)e^{-x}\).

a) [1 punto] Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de \(f\).

b) [1 punto] Halla los puntos de la gráfica de \(f\) cuya recta tangente es horizontal.

c) [0,5 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x = 0\).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Calcula \(\int e^{2x} sen(x) \, dx\).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{e^x}{x - 1} \) para \( x \neq 1 \).

a) [1 punto] Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de \( f \).

b) [1,5 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de \( f \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{\ln(x)}{2x} \) para \( x > 0 \) (\( \ln \) denota la función logaritmo neperiano) y sea \( F \) la primitiva de \( f \) tal que \( F(1) = 2 \).

a) [0,5 puntos] Calcula \( F'(e) \).

b) [2 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( F \) en el punto de abscisa \( x = e \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Queremos fabricar una caja con base cuadrada, de tal manera que la altura de la caja más el perímetro de la base sumen \( 60 \, \text{cm} \). Determina sus dimensiones para que contenga el mayor volumen posible.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sean \( f: [0, \infty) \to \mathbb{R} \) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) las funciones definidas por \( f(x) = \sqrt{2x} \) y \( g(x) = \frac{1}{2}x^2 \).

a) [0,75 puntos] Halla los puntos de corte de las gráficas de \( f \) y \( g \). Haz un esbozo del recinto que limitan.

b) [1,75 puntos] Calcula el área de dicho recinto.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función dada por \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \). Halla los coeficientes \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) sabiendo que \( f \) presenta un extremo local en el punto de abscisa \( x = 0 \), que \( (1, 0) \) es punto de inflexión de la gráfica de \( f \) y que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es \( -3 \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula el valor de \( a > 1 \) sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola \( y = -x^2 + ax \) y la recta \( y = x \) es \( \frac{4}{3} \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = x^2 - |x| \).

a) [0,5 puntos] Estudia la derivabilidad de \( f \).

b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \).

c) [1 punto] Calcula los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2(x - 1)} \) para \( x \neq 0 \) y \( x \neq 1 \), y sea \( F \) la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( P(2, \ln(2)) \) (\( \ln \) denota logaritmo neperiano).

a) [0,5 puntos] Calcula la recta tangente a la gráfica de \( F \) en el punto \( P \).

b) [2 puntos] Determina la función \( F \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sabiendo que \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - e^x + ax}{x sen(x)}\) es finito, calcula \(a\) y el valor del límite.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula \(\int_{0}^{1} \frac{x^2}{2x^2 - 2x - 4} \, dx\).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

De entre todos los números reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Calcula \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \cos^2(x) \, dx\). (Sugerencia: integración por partes).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \).

a) [1,75 puntos] Halla \( a \), \( b \) y \( c \) para que la gráfica de \( f \) tenga un punto de inflexión de abscisa \( x = \frac{1}{2} \) y que la recta tangente en el punto de abscisa \( x = 0 \) tenga por ecuación \( y = 5 - 6x \).

b) [0,75 puntos] Para \( a = 3 \), \( b = -9 \) y \( c = 8 \), calcula los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sean \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) las funciones definidas respectivamente por \( f(x) = \frac{|x|}{2} \) y \( g(x) = \frac{1}{1 + x^2} \).

a) [1 punto] Esboza las gráficas de \( f \) y \( g \) sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin tapadera, que tenga una capacidad de \( 125 \, \text{m}^3 \). Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = x \ln(x + 1) \) para \( x > -1 \) (\( \ln \) denota el logaritmo neperiano). Determina la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (1, 0) \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

De entre todos los triángulos rectángulos de área \(8 \, \text{cm}^2\), determina las dimensiones del que tiene la hipotenusa de menor longitud.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula \(\int \frac{dx}{2x(x + \sqrt{x})}\). (Sugerencia: cambio de variable \(t = \sqrt{x}\)).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función derivable definida por:

a) [1,25 puntos] Calcula \(a\) y \(b\).

b) [1,25 puntos] Para \(a = 3\) y \(b = 2\), calcula los extremos absolutos de \(f\) en el intervalo \([0, e]\) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \(f(x) = e^x \cos(x)\).

a) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x = 0\).

b) [1,5 puntos] Calcula la primitiva de \(f\) cuya gráfica pasa por el punto \((0, 0)\).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \(f(x) = x^3 - 3x + 2\).

a) [0,75 puntos] Estudia los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(f\) y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

b) [0,5 puntos] Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de \(f\).

c) [1,25 puntos] Esboza la gráfica de \(f\), indicando su dominio y comportamiento en más infinito y menos infinito.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula el valor de \(m > 0\) para que el área del recinto limitado por la parábola \(y = x^2 - 2x + m\) y la recta \(y = x - 1\) sea igual a \(9/2\).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sabiendo que \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + mx)}{x}\) es finito, calcula \(m\) y el valor del límite (\(\ln\) denota logaritmo neperiano).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \(f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \(f(x) = \frac{x}{x + 1}\).

a) [1 punto] Halla una primitiva de \(f\).

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \(f\), el eje de abscisas y las rectas \(x = 1\) y \(x = 2\).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{1}{2x} + \ln(x) \) para \( x > 0 \) (\( \ln \) denota el logaritmo neperiano).

a) [1,75 puntos] Determina el punto de la gráfica de \( f \) en el que la pendiente de la recta tangente es máxima.

b) [0,75 puntos] Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula \( \int_{-1}^{1} \ln(4 - x) \, dx \) (\( \ln \) denota el logaritmo neperiano).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d \). Halla \( b \), \( c \) y \( d \) sabiendo que \( f \) tiene un máximo relativo en \( x = -1 \) y que \( \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = 4 \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = -x^2 + 2x + 3 \).

a) [0,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 2 \).

b) [0,75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de \( f \), la recta \( 2x + y - 7 = 0 \) y el eje \( OX \), calculando los puntos de corte.

c) [1,25 puntos] Halla el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = |x^2 - 4| \).

a) [1,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -1 \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Determina la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) tal que \( f''(x) = -2 sen(2x) \), \( f(0) = 1 \) y \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = x^2 - |x| \).

a) [0,5 puntos] Estudia la derivabilidad de \( f \).

b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \).

c) [1 punto] Calcula los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2(x - 1)} \) para \( x \neq 0 \) y \( x \neq 1 \), y sea \( F \) la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( P(2, \ln(2)) \) (\( \ln \) denota logaritmo neperiano).

a) [0,5 puntos] Calcula la recta tangente a la gráfica de \( F \) en el punto \( P \).

b) [2 puntos] Determina la función \( F \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \).

a) [0,75 puntos] Estudia los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

b) [0,5 puntos] Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de \( f \).

c) [1,25 puntos] Esboza la gráfica de \( f \), indicando su dominio y comportamiento en más infinito y menos infinito.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula el valor de \( m > 0 \) para que el área del recinto limitado por la parábola \( y = x^2 - 2x + m \) y la recta \( y = x - 1 \) sea igual a \( \frac{9}{2} \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

De entre todos los triángulos rectángulos de área \( 8 \, \text{cm}^2 \), determina las dimensiones del que tiene la hipotenusa de menor longitud.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = e^x \cos(x) \).

a) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \).

b) [1,5 puntos] Calcula la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (0, 0) \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \).

a) [1,75 puntos] Halla \( a \), \( b \) y \( c \) para que la gráfica de \( f \) tenga un punto de inflexión de abscisa \( x = \frac{1}{2} \) y que la recta tangente en el punto de abscisa \( x = 0 \) tenga por ecuación \( y = 5 - 6x \).

b) [0,75 puntos] Para \( a = 3 \), \( b = -9 \) y \( c = 8 \), calcula los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sean \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) las funciones definidas respectivamente por \( f(x) = \frac{|x|}{2} \) y \( g(x) = \frac{1}{1 + x^2} \).

a) [1 punto] Esboza las gráficas de \( f \) y \( g \) sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin tapadera, que tenga una capacidad de \( 125 \, \text{m}^3 \). Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = x \ln(x + 1) \) para \( x > -1 \) (\( \ln \) denota el logaritmo neperiano). Determina la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (1, 0) \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

De la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) se sabe que alcanza un máximo relativo en \( x = 1 \), que la gráfica tiene un punto de inflexión en \( (0, 0) \) y que \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = \frac{5}{4} \). Calcula \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Considera las matrices: \[ A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 6 \end{pmatrix}. \]

a) [0,75 puntos] Halla \( A^{-1} \).

b) [1,25 puntos] Calcula la matriz \( X \) que satisface \( AX = B^t C \) (\( B^t \) es la matriz traspuesta de \( B \)).

c) [0,5 puntos] Halla el determinante de \( A^{2013} B^t B (A^{-1})^{2013} \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) (donde \( \ln \) denota el logaritmo neperiano).

[2,5 puntos] Calcula la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \).

a) [1,5 puntos] Comprueba que \( A^2 = 2I \) y calcula \( A^{-1} \).

b) [1 punto] Calcula \( A^{2013} \) y su inversa.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \).

a) [1 punto] Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f \).

b) [1,5 puntos] Halla los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se alcanzan y valores que toman).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula \( \int_{0}^{1} \frac{x}{(x+1)^2} \, dx \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

De entre todos los rectángulos cuya área es \( 4 \, \text{cm}^2 \), determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Considera la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \ln(x^2) \) (\( \ln \) denota el logaritmo neperiano).

a) [1,5 puntos] Determina la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( P(1, 0) \).

b) [1 punto] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \), el eje de abscisas y las rectas \( x = 1 \) y \( x = e \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Queremos fabricar una caja con base cuadrada, de tal manera que la altura de la caja más el perímetro de la base sumen \(60 \, \text{cm}\). Determina sus dimensiones para que contenga el mayor volumen posible.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sean \(f: [0, +\infty) \to \mathbb{R}\) y \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) las funciones definidas por \(f(x) = \sqrt{2x}\) y \(g(x) = \frac{1}{2}x^2\).

a) [0,75 puntos] Halla los puntos de corte de las gráficas de \(f\) y \(g\). Haz un esbozo del recinto que limitan.

b) [1,75 puntos] Calcula el área de dicho recinto.

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \(f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \(f(x) = \frac{\ln(x)}{2x}\), donde \(\ln\) denota el logaritmo neperiano, y sea \(F\) la primitiva de \(f\) tal que \(F(1) = 2\).

a) [0,5 puntos] Calcula \(F'(e)\).

b) [2 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(F\) en el punto de abscisa \(x = e\).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones: \[ \begin{cases} \alpha x + y + 3z = 4, \\ x + y - 2z = -2, \\ -x + 2y + (3 + \alpha)z = 4 + \alpha. \end{cases} \]

a) [1,25 puntos] Determina, si existen, los valores de \(\alpha\) para los que el sistema dado tiene solución única.

b) [1,25 puntos] Para \(\alpha = 1\), resuelve el sistema.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \).

a) [1 punto] Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f \).

b) [1,5 puntos] Halla los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se alcanzan y valores que toman).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula \( \int_{0}^{1} \frac{x}{(x+1)^2} \, dx \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

De entre todos los rectángulos cuya área es \( 4 \, \text{cm}^2 \), determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = \ln(x^2) \) (\( \ln \) denota el logaritmo neperiano).

a) [1,5 puntos] Determina la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( P(1, 0) \).

b) [1 punto] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \), el eje de abscisas y las rectas \( x = 1 \) y \( x = e \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \).

a) [1,75 puntos] Halla \( a \), \( b \) y \( c \) para que la gráfica de \( f \) tenga un punto de inflexión en \( x = -1 \) y que la recta tangente en el punto de abscisa \( x = 0 \) tenga por ecuación \( y = 4x + 1 \).

b) [0,75 puntos] Para \( a = 3 \), \( b = -9 \) y \( c = 8 \), calcula los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula \( \int \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x}} \, dx \). (Sugerencia: cambio de variable \( t = \sqrt{1 - x} \)).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

De entre todos los rectángulos cuya área es \( 16 \, \text{cm}^2 \), determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = e^{2x} \cos(x) \).

a) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \).

b) [1,5 puntos] Calcula la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (0, 0) \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \).

a) [0,75 puntos] Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f \) y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

b) [0,5 puntos] Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de \( f \).

c) [1,25 puntos] Esboza la gráfica de \( f \), indicando su dominio y comportamiento en más infinito y menos infinito.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula el valor de \( m > 0 \) para que el área del recinto limitado por la parábola \( y = x^2 - 2x + m \) y la recta \( y = x - 1 \) sea igual a \( \frac{9}{2} \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

De entre todos los triángulos rectángulos de área \( 8 \, \text{cm}^2 \), determina las dimensiones del que tiene la hipotenusa de menor longitud.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = e^x \cos(x) \).

a) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \).

b) [1,5 puntos] Calcula la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (0, 0) \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = \frac{2x^2}{(x+1)(x-2)} \) para \( x \neq -1 \) y \( x \neq 2 \).

a) [1 punto] Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de \( f \).

b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \).

c) [0,5 puntos] Calcula, si existe, algún punto de la gráfica de \( f \) donde esta corta a la asíntota horizontal.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = x^2 \cos(x) \). Determina la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (\pi, 0) \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Dado el sistema de ecuaciones: \[ \begin{cases} kx + 2y = 3, \\ -x + 2kz = -1, \\ 3x - y - 7z = k + 1. \end{cases} \]

a) [1,75 puntos] Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro \( k \).

b) [0,75 puntos] Resuélvelo para \( k = 1 \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Calcula de manera razonada la distancia del eje \( OX \) a la recta \( r \) de ecuaciones: \[ \begin{cases} 2x - 3y = 4, \\ 2x - 3y - z = 0. \end{cases} \]

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \).

a) [1 punto] Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f \).

b) [1,5 puntos] Halla los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se alcanzan y valores que toman).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula \( \int_{0}^{1} \frac{x}{(x+1)^2} \, dx \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

De entre todos los rectángulos cuya área es \( 4 \, \text{cm}^2 \), determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = \ln(x^2) \) (\( \ln \) denota el logaritmo neperiano).

a) [1,5 puntos] Determina la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( P(1, 0) \).

b) [1 punto] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \), el eje de abscisas y las rectas \( x = 1 \) y \( x = e \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) \), donde \( \ln \) denota el logaritmo neperiano.

a) [1,75 puntos] Halla los extremos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) en el intervalo \([ \frac{1}{e}, e ]\).

b) [0,75 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = e \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sean \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) las funciones definidas respectivamente por \( f(x) = sen(x) \) y \( g(x) = \cos(x) \).

a) [0,75 puntos] Realiza un esbozo de las gráficas de \( f \) y \( g \) en el intervalo \([ 0, \frac{\pi}{2} ]\).

b) [1,75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \) en el intervalo \([ 0, \frac{\pi}{4} ]\).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función derivable definida por:

a) [1,25 puntos] Calcula \( a \) y \( b \).

b) [1,25 puntos] Para \( a = 3 \) y \( b = 2 \), calcula los extremos absolutos de \( f \) en el intervalo \([ 0, e ]\) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = e^x \cos(x) \).

a) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \).

b) [1,5 puntos] Calcula la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (0, 0) \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \).

a) [1 punto] Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f \).

b) [1,5 puntos] Halla los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se alcanzan y valores que toman).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula \( \int_{0}^{1} \frac{x}{(x+1)^2} \, dx \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

De entre todos los rectángulos cuya área es \( 4 \, \text{cm}^2 \), determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = \ln(x^2) \) (\( \ln \) denota el logaritmo neperiano).

a) [1,5 puntos] Determina la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( P(1, 0) \).

b) [1 punto] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \), el eje de abscisas y las rectas \( x = 1 \) y \( x = e \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y de área máxima.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definidas por \( f(x) = 6x - x^2 \) y \( g(x) = x^2 - 2x \).

a) [0,75 puntos] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.

b) [1,75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = 3x^4 + \frac{1}{x^3} \) para \( x \neq 0 \).

a) [1,25 puntos] Estudia las asíntotas de la gráfica de la función.

b) [1,25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sean \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) las funciones definidas por \( f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 4 \) y \( g(x) = x^2 - 1 \).

a) [0,75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -2 \).

b) [1,75 puntos] Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta \( y = x + 5 \). Calcula el área de este recinto.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a 54 m². Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que éste tenga volumen máximo.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sea \( f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = \ln(x+1) \), donde ln denota la función logaritmo neperiano.

a) [0,75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de \( f \), el eje OY y la recta \( y = 1 \). Calcula los puntos de corte de las gráficas.

b) [1,75 puntos] Halla el área del recinto anterior.

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \( f: [1, +\infty) \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = \sqrt{x} - 1 \). Determina el punto \( P \) de la gráfica de \( f \) que se encuentra a menor distancia del punto \( A(2, 0) \). ¿Cuál es esa distancia?

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Halla: \( \int \frac{e^x}{(e^{2x} - 1)(e^x + 1)} dx \).

Sugerencia: efectúa el cambio de variable \( t = e^x \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. ¿Qué medidas han de tener los catetos del triángulo para que el volumen del cono engendrado sea máximo? (Recuerda que el volumen del cono es: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definidas por \( f(x) = 2 - x^2 \) y \( g(x) = |x| \).

a) [1 punto] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \( f \) la función definida como \( f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1} \) para \( x \neq \pm 1 \).

a) [1 punto] Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de \( f \).

b) [0,75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \).

c) [0,75 puntos] Esboza la gráfica de \( f \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Dada la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \ln x \), donde \( \ln \) es la función logaritmo neperiano, se pide:

a) [0,75 puntos] Comprueba que la recta de ecuación \( y = -ex + 1 + e^2 \) es la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = e \).

b) [1,75 puntos] Calcula el área de la región limitada por la gráfica de \( f \), el eje de abscisas y la recta normal del apartado (a).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sea \( f: (-2, +\infty) \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = \ln(x+2) \). Halla una primitiva \( F \) de \( f \) que verifique \( F(0) = 0 \). (\( \ln \) denota el logaritmo neperiano).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = \ln(x^2 + 3x) \), donde \( \ln \) denota el logaritmo neperiano.

a) [1,5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gráfica de \( f \) en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación \( x - 2y + 1 = 0 \).

b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 3 \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Calcula el valor de \( a > 0 \) sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola \( y = x^2 + ax \) y la recta \( y + x = 0 \) vale 36 unidades cuadradas.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dada por:

\[ f(x) = \begin{cases} e^x(x^2 + ax), & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x+1}, & \text{si } x > 0 \end{cases} \]

Calcula las constantes \( a \), \( b \) y \( c \) sabiendo que \( f \) es derivable y que la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \) tiene pendiente 3.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Dada la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{3}{x^2 - 5x + 4} \) para \( x \neq 1 \) y \( x \neq 4 \), calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \), el eje de abscisas, y las rectas \( x = 2 \) y \( x = 3 \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida como \( f(x) = (x + 1)\sqrt[3]{3 - x} \). Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -5 \) y en el punto de abscisa \( x = 2 \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = x|2 - x| \).

a) [1 punto] Esboza su gráfica.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \), el eje de abscisas y la recta de ecuación \( x = 3 \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Dada la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida como \( f(x) = a sen(x) + bx^2 + cx + d \), determina los valores de las constantes \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) sabiendo que la gráfica de \( f \) tiene tangente horizontal en el punto \( (0, 4) \) y que la segunda derivada de \( f \) es \( f''(x) = 3 sen(x) - 10 \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sea la función \( f \) dada por \( f(x) = \frac{1}{x^2 + x} \) para \( x \neq -1 \) y \( x \neq 0 \). Determina la primitiva \( F \) de \( f \) tal que \( F(1) = 1 \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por:

\[ f(x) = \begin{cases} e^{-x}, & \text{si } x \leq 0 \\ 1 - x^2, & \text{si } 0 < x < 1 \\ \frac{2}{x+1}, & \text{si } 1 \leq x \end{cases} \]

Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la función derivada de \( f \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sean \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) las funciones definidas por \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \) y \( g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1 \).

a) [1 punto] Esboza las gráficas de \( f \) y \( g \), y halla su punto de corte.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y el eje de ordenadas.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Una hoja de papel tiene que contener 18 cm² de texto. Los márgenes superior e inferior han de tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sea \( I = \int \frac{5}{1 + \sqrt{e^{-x}}} dx \).

a) [1 punto] Expresa \( I \) haciendo el cambio de variable \( t^2 = e^{-x} \).

b) [1,5 puntos] Determina \( I \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Considera la función \( f: [0, 4] \to \mathbb{R} \) definida por:

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b, & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \\ cx, & \text{si } 2 < x \leq 4 \end{cases} \]

a) [1,75 puntos] Sabiendo que \( f \) es derivable en todo el dominio y que verifica \( f(0) = f(4) \), determina los valores de \( a \), \( b \) y \( c \).

b) [0,75 puntos] Para \( a = -3 \), \( b = 4 \) y \( c = 1 \), halla los extremos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dada por \( f(x) = x^2 + 4 \).

a) [0,75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \).

b) [1,75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de \( f \), el eje de ordenadas y la recta de ecuación \( y = 2x + 3 \). Calcula su área.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f \) la función definida como \( f(x) = \frac{ax^2 + b}{a - x} \) para \( x \neq a \).

a) [1,5 puntos] Calcula \( a \) y \( b \) para que la gráfica de \( f \) pase por el punto \( (2, 3) \) y tenga una asíntota oblicua con pendiente \(-4\).

b) [1 punto] Para el caso \( a = 2 \), \( b = 3 \), obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} sen(\sqrt{x}) dx \).

Sugerencia: Efectúa el cambio \( \sqrt{x} = t \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Calcula \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{sen(x)}}{x^2} \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Considera la función \( f \) dada por \( f(x) = 5 - x \) y la función \( g \) definida como \( g(x) = \frac{4}{x} \) para \( x \neq 0 \).

a) [1 punto] Esboza el recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \), indicando sus puntos de corte.

b) [1,5 puntos] Calcula el área de dicho recinto.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. ¿Qué medidas han de tener los catetos del triángulo para que el volumen del cono engendrado sea máximo? (Recuerda que el volumen del cono es: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definidas por \( f(x) = 2 - x^2 \) y \( g(x) = |x| \).

a) [1 punto] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \( f \) la función definida como \( f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1} \) para \( x \neq \pm 1 \).

a) [1 punto] Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de \( f \).

b) [0,75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \).

c) [0,75 puntos] Esboza la gráfica de \( f \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Dada la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \ln x \), donde \( \ln \) es la función logaritmo neperiano, se pide:

a) [0,75 puntos] Comprueba que la recta de ecuación \( y = -ex + 1 + e^2 \) es la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = e \).

b) [1,75 puntos] Calcula el área de la región limitada por la gráfica de \( f \), el eje de abscisas y la recta normal del apartado (a).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sea \( f: (-2, +\infty) \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = \ln(x+2) \). Halla una primitiva \( F \) de \( f \) que verifique \( F(0) = 0 \). (\( \ln \) denota el logaritmo neperiano).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = \ln(x^2 + 3x) \), donde \( \ln \) denota el logaritmo neperiano.

a) [1,5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gráfica de \( f \) en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación \( x - 2y + 1 = 0 \).

b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 3 \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Calcula el valor de \( a > 0 \) sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola \( y = x^2 + ax \) y la recta \( y + x = 0 \) vale 36 unidades cuadradas.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dada por:

\[ f(x) = \begin{cases} e^x(x^2 + ax), & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x+1}, & \text{si } x > 0 \end{cases} \]

Calcula las constantes \( a \), \( b \) y \( c \) sabiendo que \( f \) es derivable y que la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \) tiene pendiente 3.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Dada la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{3}{x^2 - 5x + 4} \) para \( x \neq 1 \) y \( x \neq 4 \), calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \), el eje de abscisas, y las rectas \( x = 2 \) y \( x = 3 \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida como \( f(x) = (x + 1)\sqrt[3]{3 - x} \). Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -5 \) y en el punto de abscisa \( x = 2 \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = x|2 - x| \).

a) [1 punto] Esboza su gráfica.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \), el eje de abscisas y la recta de ecuación \( x = 3 \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Dada la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida como \( f(x) = a \text{sen}(x) + bx^2 + cx + d \), determina los valores de las constantes \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) sabiendo que la gráfica de \( f \) tiene tangente horizontal en el punto \( (0, 4) \) y que la segunda derivada de \( f \) es \( f''(x) = 3 \text{sen}(x) - 10 \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sea la función \( f \) dada por \( f(x) = \frac{1}{x^2 + x} \) para \( x \neq -1 \) y \( x \neq 0 \). Determina la primitiva \( F \) de \( f \) tal que \( F(1) = 1 \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por:

\[ f(x) = \begin{cases} e^{-x}, & \text{si } x \leq 0 \\ 1 - x^2, & \text{si } 0 < x < 1 \\ \frac{2}{x+1}, & \text{si } 1 \leq x \end{cases} \]

Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la función derivada de \( f \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sean \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) las funciones definidas por \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \) y \( g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1 \).

a) [1 punto] Esboza las gráficas de \( f \) y \( g \), y halla su punto de corte.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y el eje de ordenadas.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Se considera la función \( f: [1, +\infty) \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \sqrt{x} - x + x \). Determina la asíntota de la gráfica de \( f \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

La curva \( y = \frac{1}{x} \) divide al rectángulo de vértices \( A = (0, 0) \), \( B = (2, 0) \), \( C = (2, 1) \) y \( D = (0, 1) \) en dos recintos.

a) [0,75 puntos] Dibuja dichos recintos.

b) [1,75 puntos] Halla el área de cada uno de ellos.

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

De entre todos los rectángulos cuya área mide \( 16 \, \text{cm}^2 \), determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{\sqrt{4 - 9x^4}}{3} \).

Halla la primitiva \( F \) de \( f \) que cumple \( F(0) = 3 \). (Sugerencia: utiliza el cambio de variable \( t = 2x \)).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Calcula el siguiente límite (ln denota logaritmo neperiano):

\[ \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x^3 - 1}. \]

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = x|x - 1| \).

a) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de \( f \).

b) [0,75 puntos] Comprueba que la recta de ecuación \( y = x \) es la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \).

c) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \) y dicha tangente.

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por:

\[ f(x) = \begin{cases} 1, & \text{si } x < 0, \\ x^2 - 3x - 1, & \text{si } x \geq 0. \end{cases} \]

a) [0,75 puntos] Estudia su continuidad y derivabilidad.

b) [1,25 puntos] Determina sus asíntotas y sus extremos relativos.

c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de \( f \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Considera la curva de ecuación \( y = x^3 - 3x \).

a) [0,5 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa \( x = -1 \).

b) [2 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la curva dada y la recta \( y = 2 \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \). Calcula los valores de \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) sabiendo que \( f \) verifica:

• El punto \( (0, 1) \) es un punto de inflexión de la gráfica de \( f \).
• \( f \) tiene un mínimo local en el punto de abscisa \( x = 1 \).
• La recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 2 \) tiene pendiente 1.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definidas por \( f(x) = |x| \) y \( g(x) = 6 - x \).

a) [1 punto] Esboza el recinto limitado por sus gráficas.

b) [1,5 puntos] Calcula el área de dicho recinto.

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Se divide un segmento de longitud \( L = 20 \, \text{cm} \) en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble de la altura. Calcula la longitud de cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

La recta tangente a la gráfica de la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definida por \( f(x) = mx + n - 3 \), en el punto \( (1, -6) \), es paralela a la recta de ecuación \( y = -x \).

a) [1,25 puntos] Determina las constantes \( m \) y \( n \). Halla la ecuación de dicha recta tangente.

b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función, la recta tangente anterior y el eje de ordenadas.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = x|x - 3| \).

a) [1 punto] Estudia la continuidad y derivabilidad de \( f \).

b) [1,5 puntos] Estudia el crecimiento y decrecimiento de \( f \). Calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = 1 + \ln(x) \), siendo \( \ln \) la función logaritmo neperiano.

a) [1,25 puntos] Sabiendo que \( f \) es continua, calcula \( a \).

b) [1,25 puntos] Estudia la existencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que exista, determina su ecuación.

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Se consideran las funciones \( f: [0, +\infty) \to \mathbb{R} \) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definidas por \( f(x) = e^{-x} \) y \( g(x) = x^2 - 2x \).

a) [1 punto] Esboza el recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \).

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por:

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{si } x < 1, \\ a(x - 1)^2, & \text{si } x \geq 1. \end{cases} \]

a) [1,25 puntos] Determina el valor de \( a \) para que \( f \) sea continua en \( x = 1 \).

b) [1,25 puntos] Estudia la derivabilidad de \( f \) en \( x = 1 \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Se sabe que la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida como:

\[ f(x) = \begin{cases} -x^2 + bx + 1, & \text{si } x \leq 1, \\ 2x^2 - 5x + 2a, & \text{si } x > 1, \end{cases} \]

es derivable. Determina los valores de \( a \) y \( b \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

a) [1,25 puntos] Calcula \( \int x \, \text{sen}(ax) \, dx \).

b) [1,25 puntos] Sean las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definidas por \( f(x) = -x + 1 \) y \( g(x) = x - 1 \). Calcula el área del recinto limitado por sus gráficas.

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Se sabe que la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) tiene extremos relativos en \( (0, 0) \) y en \( (2, 2) \). Calcula \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Las dos gráficas del dibujo corresponden a la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = x + 2\ln(x) \) y a la de su derivada \( f': (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) (\( \ln \) denota logaritmo neperiano).

a) [0,5 puntos] Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de \( f \) y cuál la de \( f' \).

b) [2 puntos] Calcula el área de la región sombreada.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Calcula \( \int \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} dx \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por:

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 + 3x, & \text{si } x \leq 0, \\ -2x^2 + ax + b, & \text{si } x > 0. \end{cases} \]

a) [1,25 puntos] Halla \( a \) y \( b \) sabiendo que \( f \) es derivable.

b) [1,25 puntos] Determina los extremos relativos de \( f \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

De entre todos los rectángulos cuya área mide \( 16 \, \text{cm}^2 \), determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( g(x) = e^{-x^2} \).

a) [1 punto] Estudia y halla los máximos y mínimos absolutos de \( g \).

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( g \) y las rectas \( x = 1 \), \( x = -1 \) y \( y = 0 \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por:

\[ f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x, & \text{si } x < 2, \\ 2 - bx - 4, & \text{si } x \geq 2. \end{cases} \]

a) [1,5 puntos] Halla \( a \) y \( b \) sabiendo que \( f \) es derivable en \( \mathbb{R} \).

b) [1 punto] Determina la recta tangente y la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 3 \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Dada la función \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definida por \( g(x) = 2x + |x - 1| \):

a) [1 punto] Esboza la gráfica de \( g \).

b) [1,5 puntos] Calcula \( \int_0^3 g(x) dx \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto \( (1, 2) \), encuentra aquella que forma con las partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Halla el área de dicho triángulo.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea la recta \( s \) dada por \( \frac{x}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3} \).

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano \( \pi \) que es paralelo a la recta \( s \) y que contiene a la recta dada por \( \frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z-3}{2} \).

b) [1,25 puntos] Estudia la posición relativa de la recta \( s \) y el plano \( \pi \), de ecuación \( x + y = 3 \), y deduce la distancia entre ambos.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \).

a) [1 punto] Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f \).

b) [1,5 puntos] Halla los puntos de inflexión de la gráfica de \( f \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula:

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{sen}(x) \cos(x) dx. \]

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

De entre todos los rectángulos cuya diagonal mide 4 m, determina las dimensiones del que tiene área máxima.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definidas por \( f(x) = x^2 - 2x \) y \( g(x) = x + 6 \).

a) [1 punto] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sean \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) las funciones definidas por \( f(x) = x^2 + ax + b \) y \( g(x) = c e^{-(x+1)} \). Se sabe que las gráficas de \( f \) y \( g \) se cortan en el punto \( (-1, 2) \) y tienen en ese punto la misma recta tangente.

a) [1,5 puntos] Calcula \( a \), \( b \) y \( c \).

b) [1 punto] Halla la ecuación de dicha recta tangente.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por:

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + m, & \text{si } x \leq 1, \\ - x^2 + 5x + n, & \text{si } x > 1. \end{cases} \]

a) [1,25 puntos] Determina \( m \) y \( n \) sabiendo que \( f \) es continua y derivable en \( x = 1 \).

b) [1,25 puntos] Para \( m = 1 \) y \( n = -1 \), halla los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \). Se sabe que \( f \) tiene un máximo local en \( x = 1 \), que el punto \( (0, 1) \) es un punto de inflexión de su gráfica y que \( \int_0^1 f(x) dx = \frac{9}{4} \).

Calcula \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = |x| - x^2 \).

a) [1 punto] Esboza la gráfica de \( f \).

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \) y el eje de abscisas.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por:

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3, & \text{si } x \leq 2, \\ -x^2 + 6x - 5, & \text{si } x > 2. \end{cases} \]

a) [0,75 puntos] Estudia la continuidad y derivabilidad de \( f \).

b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f \).

c) [0,75 puntos] Calcula los extremos relativos de \( f \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Calcula \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} sen(2x) dx \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

De entre todos los triángulos rectángulos cuya área mide \( 8 \, \text{cm}^2 \), determina las dimensiones del que tiene el perímetro mínimo.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por:

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x, & \text{si } x \leq 1, \\ - x^2 + 5x - 6, & \text{si } x > 1. \end{cases} \]

a) [1,25 puntos] Estudia la continuidad y derivabilidad de \( f \).

b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \) y el eje de abscisas.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f: [0, 2\pi] \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = e^x (sen x + \cos x) \).

a) [1,25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \).

b) [1,25 puntos] Calcula los puntos de inflexión de la gráfica de \( f \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sean \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) las funciones dadas por \( f(x) = x^2 \) y \( g(x) = a \) (con \( a > 0 \)). Se sabe que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones \( f \) y \( g \) es \( \frac{4}{3} \). Calcula el valor de la constante \( a \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por:

\[ f(x) = \begin{cases} x|x|, & \text{si } x \leq 2, \\ 6 - x, & \text{si } x > 2. \end{cases} \]

a) [0,75 puntos] Esboza la gráfica de \( f \).

b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de \( f \).

c) [0,75 puntos] Calcula el área comprendida entre la gráfica de \( f \) y el eje de abscisas.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Calcula \( \int_1^e x^2 \ln(x) dx \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = (3x - 2x^2)e^x \).

a) [1,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \).

b) [1 punto] Calcula los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Considera las funciones \( f: (0, \frac{\pi}{2}) \to \mathbb{R} \) y \( g: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \), definidas por:

\( f(x) = sen(x) \cos^3(x) \) y \( g(x) = x^3 \ln(x) \), donde \( \ln \) denota el logaritmo neperiano.

a) [1,25 puntos] Halla la primitiva de \( f \) que toma el valor 1 cuando \( x = \frac{\pi}{3} \). (Se puede hacer el cambio de variable \( t = \cos(x) \)).

b) [1,25 puntos] Calcula \( \int g(x) dx \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Dada la función \( f \) definida, para \( x \neq 0 \), por \( f(x) = \frac{e^x + 1}{e^x - 1} \), determina las asíntotas de su gráfica.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( g(x) = \frac{1}{4}x^3 - x^2 + x \).

a) [1,25 puntos] Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( g \).

b) [1,25 puntos] Halla los extremos relativos de \( g \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 1A

Sea \( f : (0, +\infty) → R \) la función definida por \( f(x) = \frac{3x + 1}{\sqrt{x}} \).

(a) [1,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de \( f \) (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

(b) [1 punto] Calcula el punto de inflexión de la gráfica de \( f \).

Ejercicio 2A

Sea \( f : R → R \) la función definida por \( f(x) = x |x - 2| \).

(a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de \( f \) en \( x = 2 \).

(b) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de \( f \).

(c) [1 punto] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \) y el eje de abscisas.

Ejercicio 1B. [2,5 puntos]

Determina una función \( f : R → R \) sabiendo que su derivada viene dada por \( f'(x) = x^2 + x - 6 \) y que el valor que alcanza \( f \) en su punto de máximo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto de mínimo (relativo).

Ejercicio 2B

Sea \( f : (-1, +\infty) → R \) la función definida por \( f(x) = \ln(x + 1) \) (ln denota la función logaritmo neperiano).

(a) [1 punto] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \).

(b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \), la recta tangente obtenida en el apartado anterior y la recta \( x = 1 \).

Ejercicio 1A. [2,5 puntos]

Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es máximo.

Ejercicio 2A

Sean \( f : R → R \) y \( g : R → R \) las funciones definidas mediante

\[ f(x) = x^3 + 3x^2 \quad \text{y} \quad g(x) = x + 3 \]

(a) [1,25 puntos] Esboza las gráficas de \( f \) y de \( g \) calculando sus puntos de corte.

(b) [1,25 puntos] Calcula el área de cada uno de los dos recintos limitados entre las gráficas de \( f \) y \( g \).

Ejercicio 1B. [2,5 puntos]

Sea \( f : R → R \) la función definida por \( f(x) = 2x^3 + 12x^2 + ax + b \). Determina \( a \) y \( b \) sabiendo que la recta tangente a la gráfica de \( f \) en su punto de inflexión es la recta \( y = 2x + 3 \).

Ejercicio 2B. [2,5 puntos]

Dada la función \( f : R → R \) definida por \( f(x) = \ln(1 + x^2) \), halla la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas (ln denota la función logaritmo neperiano).

Ejercicio 1A

Sea \( f : R → R \) la función definida por \( f(x) = x^2 - |x| \).

(a) [0,75 puntos] Estudia la derivabilidad de \( f \).

(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f \).

(c) [0,75 puntos] Calcula los extremos relativos de \( f \) (puntos donde se alcanzan y valor de la función).

Ejercicio 2A

Calcula:

(a) [1,5 puntos] \( \int \frac{5x^2 - x - 160}{x^2 - 25} dx \).

(b) [1 punto] \( \int (2x - 3) \cdot tg(x^2 - 3x) dx \), siendo \( tg \) la función tangente.

Ejercicio 1B. [2,5 puntos]

Un alambre de longitud 1 metro se divide en dos trozos, con uno se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia.

Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas de ambos recintos sea mínima.

Ejercicio 2B. [2,5 puntos]

Halla la función \( f : R → R \) sabiendo que \( f''(x) = 12x - 6 \) y que la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 2 \) tiene de ecuación \( 4x - y - 7 = 0 \).

Ejercicio 1A. [2,5 puntos]

Determina un punto de la curva de ecuación \( y = x e^{-x^2} \) en el que la pendiente de la recta tangente sea máxima.

Ejercicio 2A

Sea \( I = \int_{0}^{2} \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} dx \).

(a) [1,25 puntos] Expresa \( I \) aplicando el cambio de variable \( t = 1 + x^2 \).

(b) [1,25 puntos] Calcula el valor de \( I \).

Ejercicio 1B. [2,5 puntos]

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{x^4 + 3}{x} \), para \( x \neq 0 \).

(a) [0,75 puntos] Halla, si existen, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráfica de \( f \).

(b) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de \( f \).

(c) [0,75 puntos] Esboza la gráfica de \( f \).

Ejercicio 2B. [2,5 puntos]

El área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones \( y = \frac{x^2}{a} \) e \( y = \sqrt{ax} \), con \( a > 0 \), vale 3.

Calcula el valor de \( a \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

De una función \( f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) se sabe que \( f(0) = 2 \) y que \( f'(x) = 2x \).

a) [1 punto] Determina \( f \).

b) [1'5 puntos] Calcula el área de la región limitada por la gráfica de \( f \), por el eje de abscisas y por las rectas de ecuaciones \( x = -2 \) y \( x = 2 \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sea \( f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = (x - 1)^2 e^{-x} \).

a) [0'5 puntos] Halla las asíntotas de la gráfica de \( f \).

b) [1'5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) y calcula, si existen, sus extremos relativos o locales y sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

c) [0'5 puntos] Esboza la gráfica de \( f \).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

De una función \( f : [0, 5] \longrightarrow \mathbb{R} \) se sabe que \( f(3) = 6 \) y que su función derivada está dada por

\[ f'(x) = \begin{cases} 5x - 2 & \text{si } 0 < x < 1, \\ x^2 - 6x + 8 & \text{si } 1 \leq x < 5. \end{cases} \]

a) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 3 \).

b) [1'5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Considera la integral definida \[ I = \int_3^8 \frac{1}{\sqrt{1 + x} - 1} dx. \]

a) [1'25 puntos] Exprésala aplicando el cambio de variables \( \sqrt{1 + x} - 1 = t \).

b) [1'25 puntos] Calcula \( I \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

De la función \( f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) se sabe que tiene un máximo en \( x = -1 \), y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa \( x = -2 \) y tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa \( x = 0 \). Calcula \( a, b, c \) y \( d \) sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 2 \) tiene pendiente \( 9 \).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Se sabe que las dos gráficas del dibujo corresponden a la función \( f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = x^2e^x \) y a su función derivada \( f' \).

a) [1 punto] Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de \( f \) y cuál la de \( f' \).

b) [1'5 puntos] Calcula el área de la región sombreada.

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \( f \) la función definida para \( x \neq 0 \) por \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} \).

a) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de \( f \).

b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

c) [0'5 puntos] Esboza la gráfica de \( f \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Considera la función \( f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = e^{-x/2} \).

a) [0'75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \).

b) [1'75 puntos] Calcula el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de \( f \), la recta de ecuación \( x = 2 \) y la recta tangente obtenida en (a).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 80 cm\(^3\). Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 1€ /cm\(^2\) y para la base se emplea un material un 50% más caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Siendo Ln \(x\) el logaritmo neperiano de \(x\), halla el área de la superficie sombreada.

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

De una función \( f : [0, 4] \longrightarrow \mathbb{R} \) se sabe que \( f(1) = 3 \) y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo.

a) [0'5 puntos] Halla la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \).

b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \). ¿En qué punto alcanza la función \( f \) su máximo absoluto?

c) [1 punto] Estudia la concavidad y la convexidad de \( f \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la recta \( y = 2x \) y por las curvas \( y = x^2 \) e \( y = \frac{x^2}{2} \).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

De la función \( f : (-1, +\infty) \longrightarrow \mathbb{R} \) se sabe que \( f'(x) = \frac{3}{(x + 1)^2} \) y que \( f(2) = 0 \).

a) [1'25 puntos] Determina \( f \).

b) [1'25 puntos] Halla la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto (0, 1).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Considera la función \( f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2) \).

a) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \).

b) [1'5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de \( f \). ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de \( f \)?

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Se sabe que la función \( f : (-1, +\infty) \longrightarrow \mathbb{R} \) definida por

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3 & \text{si } -1 < x < 0, \\ \frac{x^2 + a}{x + 1} & \text{si } x \geq 0. \end{cases} \]

es continua en \( (-1, +\infty) \).

a) [1'25 puntos] Halla el valor de \( a \). ¿Es \( f \) derivable en \( x = 0 \)?

b) [1'25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Determina \( b \) sabiendo que \( b > 0 \) y que el área de la región limitada por la curva \( y = x^2 \) y la recta \( y = bx \) es igual a 9/2.

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Calcula

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\text{Ln}(1 + x) - \text{sen } x}{x \cdot \text{sen } x}, \]

siendo Ln(1 + x) el logaritmo neperiano de 1 + x.

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Sea \( f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = e^{x/3} \).

a) [1 punto] ¿En qué punto de la gráfica de \( f \) la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas? Halla la ecuación de dicha recta tangente.

b) [1'5 puntos] Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la gráfica de \( f \), la recta tangente obtenida y el eje de ordenadas.

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \( f : (0, +\infty) \longrightarrow \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = (x - 1)\text{Ln}(x) \), donde Ln(x) es el logaritmo neperiano de x. Calcula la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto (1, -3/2).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Estudia la derivabilidad de la función \( f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) definida por

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1 - |x|} & \text{si } x \neq -1 \text{ y } x \neq 1, \\ 0 & \text{si } x = -1 \text{ o } x = 1. \end{cases} \]

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Sea Ln\((1 - x^2)\) el logaritmo neperiano de \(1 - x^2\) y sea \(f : (-1, 1) \longrightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \(f(x) = \text{Ln}(1 - x^2)\). Calcula la primitiva de \(f\) cuya gráfica pasa por el punto (0, 1).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Se sabe que la función \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) definida por \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\) tiene un extremo relativo en el punto de abscisa \(x = 0\) y que su gráfica tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa \(x = -1\). Conociendo además que \(\int_{0}^{1} f(x) dx = 6\), halla \(a\), \(b\) y \(c\).

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Dadas la parábola de ecuación \(y = 1 + x^2\) y la recta de ecuación \(y = 1 + x\), se pide:

a) [1'5 puntos] Área de la región limitada por la recta y la parábola.

b) [1 punto] Ecuación de la recta paralela a la dada que es tangente a la parábola.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Considera la función \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) definida por \(f(x) = (x + 3) e^{-x}\).

a) [0'5 puntos] Halla las asíntotas de la gráfica de \(f\).

b) [1'5 puntos] Determina los extremos relativos de \(f\) y los puntos de inflexión de su gráfica.

c) [0'5 puntos] Esboza la gráfica de \(f\).

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Consideremos \(F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt\).

a) [1'5 puntos] Si \(f\) fuese la función cuya gráfica aparece en el dibujo, indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando la respuesta:

i) \(F(\alpha) = 0\).

ii) \(F'(\alpha) = 0\).

iii) \(F\) es creciente en \((0, \alpha)\).

b) [1 punto] Calcula \(F(1)\) siendo \(f(t) = \frac{1}{\sqrt{t + 1}}\).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Considera la función \(f\) definida por \(f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}\) para \(x \neq 1\).

a) [1'5 puntos] Calcula las asíntotas de la gráfica de \(f\).

b) [1 punto] Estudia la posición de la gráfica de \(f\) respecto de sus asíntotas.

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Estudia la derivabilidad de la función \(f : (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por

\[ f(x) = \begin{cases} \sqrt{3 + x^2} - x & \text{si } \quad 0 < x \leq 1 \\ \frac{1}{x} + \frac{x^2}{4} & \text{si } \quad x > 1 \end{cases} \]

Calcula la función derivada.

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Calcula

\[ \int_{0}^{1} \frac{3x^3 + 1}{x^2 - x - 2} dx \]

Ejercicio 1A. (2,5 puntos)

Considera la función \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definida por

\[ f(x) = e^{\frac{2x}{x^2+1}} \]

a) [1 punto] Calcula las asíntotas de la gráfica de \( f \).

b) [1'5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos de \( f \) (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).

Ejercicio 2A. (2,5 puntos)

Determina un polinomio \( P(x) \) de segundo grado sabiendo que

\[ P(0) = P(2) = 1 \quad y \quad \int_{0}^{2} P(x) \, dx = \frac{1}{3}. \]

Ejercicio 1B. (2,5 puntos)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{9x - 3}{x^2 - 2x} \) para \( x \neq 0 \) y \( x \neq 2 \).

a) [1 punto] Calcula las asíntotas de la gráfica de \( f \).

b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \).

c) [0'5 puntos] Con los datos obtenidos, esboza la gráfica de \( f \).

Ejercicio 2B. (2,5 puntos)

Sea \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = x e^{-x} \). Esboza el recinto limitado por la curva \( y = f(x) \), los ejes coordenados y la recta \( x = -1 \). Calcula su área.