asíntotas oblicuas
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¿Qué es una asíntota oblicua? ¿Cómo hallo una asíntota oblicua?
Las asíntotas oblicuas son líneas rectas inclinadas (con pendiente distinta de cero) a las que se aproxima una función a medida que la variable independiente se acerca a valores positivos o negativos infinitos. A diferencia de las asíntotas verticales, que son líneas verticales a las que se acerca la función sin llegar a tocarlas, las asíntotas oblicuas sí pueden ser interceptadas por la gráfica de la función en un punto.
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mATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC. SS. ii
MATEMÁTICAS II
- Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria Examen suplente) Ejercicio 1: Enlace al vídeo
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Sea f la función definida por f(x)=(ax^3+bx^2+x-1)/(x^2-1), para x≠±1. Sabiendo que su gráfica tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto (0,1) y es paralela a la recta y=2x, calcula la asíntota oblicua y los valores de a y b.
PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024
Pregunta 3.
Se considera la función \[ f(x) = \frac{x^2 - 4}{1 - x}. \]
(a) [1 punto] Calcula el dominio de la función \(f\) y sus asíntotas.
(b) [1 punto] Halla, en caso de que existan, los máximos y mínimos y los puntos de inflexión. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
(c) [0,5 puntos] Utilizando los apartados anteriores, realiza un esbozo de la gráfica de \(f\).
Solución
Apartado a: Cálculo de las asíntotas oblicuas
Asíntota oblicua: Para hallar la ecuación de la asíntota oblicua, necesitamos calcular su pendiente \(m\) y su ordenada en el origen \(n\).- Para la pendiente, calculamos el siguiente límite: \[ m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{x^2 - 4}{1 - x}}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 4}{x(1 - x)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 4}{x - x^2}. \] Dividimos numerador y denominador por \(x^2\): \[ m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - \frac{4}{x^2}}{\frac{1}{x} - 1} = \frac{1 - 0}{0 - 1} = -1. \] Por tanto, la pendiente de la asíntota oblicua es \(m = -1\).
- Para la ordenada en el origen, calculamos el límite: \[ n = \lim_{x \to \pm\infty} \left( f(x) - m \cdot x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^2 - 4}{1 - x} - (-x) \right). \] Simplificamos: \[ n = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^2 - 4}{1 - x} + x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 4 + x(1 - x)}{1 - x}. \] El numerador queda: \[ x^2 - 4 + x - x^2 = x - 4. \] Por tanto, el límite es: \[ n = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x - 4}{1 - x} = -1. \] Así, la ordenada en el origen de la asíntota oblicua es \(n = -1\).