ASÍNTOTAS VERTICALES
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¿Qué es una asíntota vertical? ¿Cómo hallo una asíntota vertical?
Una asíntota vertical de una función es una línea recta a la que la gráfica de la función se acerca cada vez más sin nunca tocarla, a medida que la variable independiente se acerca a un valor específico. Las asíntotas verticales se producen cuando la función crece o decrece sin límite a medida que la variable independiente se acerca a un valor específico.
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PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024
Pregunta 3.
Se considera la función \[ f(x) = \frac{x^2 - 4}{1 - x}. \]
(a) [1 punto] Calcula el dominio de la función \(f\) y sus asíntotas.
(b) [1 punto] Halla, en caso de que existan, los máximos y mínimos y los puntos de inflexión. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
(c) [0,5 puntos] Utilizando los apartados anteriores, realiza un esbozo de la gráfica de \(f\).
Solución
Apartado a: Cálculo del dominio y las asíntotas verticales
La función dada es:
\[ f(x) = \frac{x^2 - 4}{1 - x}. \]
Para calcular el dominio, debemos determinar para qué valores de \(x\) la función está definida, es decir, cuándo el denominador no es cero. El denominador es \(1 - x\), por lo que igualamos a cero:
\[ 1 - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1. \]
Por tanto, la función no está definida en \(x = 1\). El dominio es:
\[ D(f) = \mathbb{R} - \{1\}. \]
- Asíntota vertical: Se da en los puntos donde el denominador es cero y la función no está definida, es decir, en \(x = 1\). Calculamos el límite cuando \(x\) tiende a 1 por la derecha e izquierda: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 4}{1 - x} = -\infty, \quad \lim_{x \to 1^+} f(x) = \infty. \] Por tanto, en \(x = 1\) hay una asíntota vertical.