INDETERMINACIONES DEL TIPO INFINITO/INFINITO
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¿Cómo resuelvo una indeterminación del tipo infinito/infinito?
Las indeterminaciones del tipo infinito/infinito son situaciones comunes en el cálculo que requieren técnicas específicas para su resolución. La regla de L'Hôpital, la comparación de infinitos, los límites laterales y el análisis gráfico son algunas de las herramientas que se utilizan para abordar este tipo de indeterminaciones. La elección de la técnica adecuada depende de la forma de la expresión y del comportamiento de la función cerca del punto de indeterminación.
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exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii
exámenes de pau de matemáticas ii
EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024
Problema 3
Considere la función:
\[ f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 2x + 3}, \]definida para todo valor de \(x \in \mathbb{R}\).
(a) (0,5 p.) Calcule \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\) y \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\).
(b) (1,5 p.) Determine los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de la función \(f(x)\) y calcule sus extremos relativos (máximos y mínimos relativos).
(c) (0,5 p.) Justifique que la función alcanza sus extremos absolutos (máximo y mínimo absolutos) y calcule el valor de dichos extremos absolutos.
Solución
Apartado (a): Cálculo de los límites en el infinito.
Primero, calculemos el límite cuando \(x \to -\infty\):
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2}{x^2 - 2x + 3}. \]Dividimos el numerador y el denominador por \(x^2\):
\[ \lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2}{x^2 - 2x + 3} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} = 2. \]El mismo procedimiento se aplica para \(x \to +\infty\), obteniendo:
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2. \]