ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS QUE SE CORTAN
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¿cómo hallo el ángulo entre dos planos que se cortan?
El ángulo entre dos planos que se cortan es el mismo que el ángulo que forman sus vectores normales (Ángulo entre dos vectores).
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exámenes de pau de matemáticas ii
EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024
Problema 6
Considere los planos \(x + y + z = -3\) y \(x + y - z = 3\), y la recta \(r\):
\[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{3}. \](a) (0,75 p.) Compruebe que ambos planos se cortan y calcule el ángulo que forman.
(b) (0,75 p.) Estudie la posición relativa de la recta \(r\) con el plano \(x + y - z = 3\).
(c) (1 p.) Determine los puntos de la recta \(r\) que equidistan de ambos planos.
Solución
Parte (a): Comprobación de que los planos se cortan y cálculo del ángulo entre ellos.
Para determinar si los planos se cortan, tomamos los vectores normales:
\[ \mathbf{n}_1 = (1, 1, 1), \quad \mathbf{n}_2 = (1, 1, -1). \]Como los vectores normales no son proporcionales, los planos se cortan en una recta.
El ángulo entre los planos se calcula usando el producto escalar de sus vectores normales:
\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2}{\|\mathbf{n}_1\| \|\mathbf{n}_2\|}. \] Calculamos el producto escalar: \[ \mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1. \] Las normas de los vectores son: \[ \|\mathbf{n}_1\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}, \quad \|\mathbf{n}_2\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}. \] Por lo tanto, el ángulo es: \[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}, \] y el ángulo es: \[ \theta = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) \approx 70.53^\circ. \]