Parte (c): Buscamos el punto de la recta \(r\) que equidista de \(P(1,2,3)\) y \(Q(1,1,3)\).

Los vectores normales a los planos son:

\[ \mathbf{n}_1 = (1, -1, 1), \quad \mathbf{n}_2 = (1, 1, -1). \]

Como los vectores normales no son proporcionales, los planos no son paralelos ni coincidentes, por lo que se cortan en una recta.

Para hallar la intersección de los planos, resolvemos el sistema:

\[ \begin{aligned} x - y + z &= 0, \\ x + y - z &= 2. \end{aligned} \]

Sumando las dos ecuaciones obtenemos:

\[ 2x = 2 \quad \Longrightarrow \quad x = 1. \]

Sustituyendo \(x = 1\) en cualquiera de las ecuaciones originales:

\[ 1 - y + z = 0 \quad \Longrightarrow \quad y = z + 1. \]

Por lo tanto, la solución es una recta con ecuación paramétrica:

\[ \begin{aligned} x &= 1, \\ y &= 1+\lambda, \\ z &= \lambda. \end{aligned} \]

El punto genérico de la recta \(r\) es \(R(1,1 + \lambda,\lambda)\). Calculamos la distancia de \(R\) a \(P\) y a \(Q\):

\[ \begin{aligned} d(P,R) &= \sqrt{(1 - 1)^2 + (2 - (1 + \lambda))^2 + (3 - \lambda)^2} = \sqrt{(1 - \lambda)^2 + (3 - \lambda)^2}, \\ d(Q,R) &= \sqrt{(1 - 1)^2 + (1 - (1 + \lambda))^2 + (3 - \lambda)^2} = \sqrt{\lambda^2 + (3 - \lambda)^2}. \end{aligned} \]

Igualamos las dos distancias:

\[ (1 - \lambda)^2 + (3 - \lambda)^2 = \lambda^2 + (3 - \lambda)^2. \]

Resolviendo la ecuación obtenemos \(\lambda = \frac{1}{2}\), por lo que el punto que equidista de \(P\) y \(Q\) es:

\[ R\left(1, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right). \]