DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
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¿cómo hallo la distancia entre dos rectas paralelas?
Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas basta con hallar un punto de una de las rectas y la distancia de este punto a la otra recta.
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exámenes de pau de matemáticas ii
PAU Madrid Convocatoria Ordinaria 2024
Pregunta A3.
Dados los puntos \[ A=(0,0,1) \quad \text{y} \quad B=(1,1,0), \] se pide:
- (a) Hallar una ecuación del plano que pasa por \(A\) y \(B\) y es perpendicular al plano \(z=0\).
- (b) Hallar ecuaciones de dos rectas paralelas, \(r_1\) y \(r_2\), que pasen por los puntos \(A\) y \(B\) respectivamente, estén en el plano \(x+z=1\) y tal que la distancia entre ellas sea 1.
Solución del apartado (b):
Dado que las rectas son paralelas tienen el mismo vector director. Supongamos que ese vector es:
\(\vec{v} = (a,\, b,\, c)\)
Además, como las rectas están contenidas en el plano \(x+z=1\) su vector director será perpendicular al vector normal al plano:
\(\vec{n} = (1,\, 0,\, 1)\)
Por tanto: \(\vec{v} \cdot \vec{n} = a\cdot1 + b\cdot0 + c\cdot1 = 0 \; \rightarrow \; a + c = 0 \; \rightarrow \; c = -a.\)
Así pues: \(\vec{v} = (a,\, b,\, -a).\)
Por otra parte, la distancia entre las dos rectas paralelas viene dada por:
\[ d(r_1, r_2)=\frac{\|\overrightarrow{AB}\times \vec{v}\|}{\|\vec{v}\|} \]
Donde \(A\) es un punto de \(r_1\), \(B\) un punto de \(r_2\) y \(\vec{v}\) el vector director de ambas rectas. En este ejercicio:
\(\overrightarrow{AB} = B - A = (1,1,0) - (0,0,1) = (1,1,-1)\)
\(\overrightarrow{AB}\times \vec{v} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & -1 \\ a & b & -a \\ \end{vmatrix}\)=
\(= \; i\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ b & -a \end{vmatrix} - j\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ a & -a \end{vmatrix} + k\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ a & b \end{vmatrix}\)=
\(= \; (b-a)i - (-a+a)j + (b-a)k = (b-a,\; 0,\; b-a)\)
Luego:
\(\|\overrightarrow{AB}\times \vec{v}\| = \sqrt{(b-a)^2 + 0^2 + (b-a)^2} = \sqrt{2(b-a)^2} = \sqrt{2}\,|b-a|\)
\(\|\vec{v}\| = \sqrt{a^2 + b^2 + (-a)^2} = \sqrt{2a^2+b^2}\)
Por lo tanto:
\(d(r_1, r_2)=\frac{\sqrt{2}\,|b-a|}{\sqrt{2a^2+b^2}}\)
Y como: \(d(r_1, r_2)=1\) se tiene:
\(\frac{\sqrt{2}\,|b-a|}{\sqrt{2a^2+b^2}}=1 \; \rightarrow \; \sqrt{2}\,|b-a| = \sqrt{2a^2+b^2}\)
Elevando los dos lados de la igualdad al cuadrado:
\(2(b-a)^2 = 2a^2 + b^2 \; \rightarrow \; 2(b^2 - 2ab + a^2) = 2a^2 + b^2\)
\(2b^2 - 4ab + 2a^2 = 2a^2 + b^2\)
\(b^2 - 4ab = 0 \; \rightarrow \; b(b-4a)=0 \; \rightarrow \; \{\,b=0 \quad \text{o} \quad b=4a\,\}\)
Caso 1: \(b=0\)
En este caso:
\(\vec{v} = (a,\, 0,\, -a) = a\,(1,\, 0,\, -1)\)
y como \(\vec{v} \neq (0,0,0)\) podemos considerar, sin pérdida de generalidad, que \(\vec{v} = (1,\, 0,\, -1)\).
Por tanto, las ecuaciones de las rectas son:
\(r_1:\; \frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z-1}{-1}\)
\(r_2:\; \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{0}=\frac{z}{-1}\)
Caso 2: \(b=4a\)
En este caso:
\(\vec{v} = (a,\, 4a,\, -a) = a\,(1,\, 4,\, -1)\)
y como \(\vec{v} \neq (0,0,0)\) podemos considerar, sin pérdida de generalidad, que \(\vec{v} = (1,\, 4,\, -1)\).
Por tanto, las ecuaciones de las rectas son:
\(r_1:\; \frac{x}{1}=\frac{y}{4}=\frac{z-1}{-1}\)
\(r_2:\; \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{4}=\frac{z}{-1}\)