DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO
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¿cómo hallo la distancia entre un punto y un plano?
La distancia entre un punto y un plano en el espacio tridimensional se define como la longitud del segmento perpendicular al plano que une el punto con el plano. En el vídeo os explico como hallar esta distancia.
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exámenes de pau de matemáticas ii
ABAU Galicia Convocatoria Ordinaria 2024
PREGUNTA 5. Geometría. (2 puntos)
a) Considérese el plano \( \pi: 4x + 2y + bz = 2 \) y la recta \( r: \frac{x-2}{3} = \frac{y-c}{2} = \frac{z-3}{4} \), donde \( b \) y \( c \) son parámetros reales. Calcule los valores de \( b \) y \( c \) para que la recta \( r \) esté contenida en \( \pi \).
b) Calcule la distancia del punto \( P(1,3,1) \) al plano \( \pi': 4x + 2y - 4z = 2 \).
Solución apartado b:
Fórmula de distancia de un punto a un plano
Para un plano \( ax + by + cz + d = 0 \) y un punto \( (x_0, y_0, z_0) \):
\[ \text{Distancia} = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]Paso 1: Reescribir el plano \( \pi' \)
\[ 4x + 2y - 4z - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 4, \, b = 2, \, c = -4, \, d = -2 \]Paso 2: Sustituir las coordenadas de \( P(1,3,1) \):
\[ \text{Distancia} = \frac{|4(1) + 2(3) - 4(1) - 2|}{\sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2}} = \frac{|4 + 6 - 4 - 2|}{\sqrt{16 + 4 + 16}}=\frac{|4|}{\sqrt{36}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]Resultado: \( \boxed{\dfrac{2}{3}} \).
EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024
Problema 6
Considere los planos \(x + y + z = -3\) y \(x + y - z = 3\), y la recta \(r\):
\[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{3}. \](a) (0,75 p.) Compruebe que ambos planos se cortan y calcule el ángulo que forman.
(b) (0,75 p.) Estudie la posición relativa de la recta \(r\) con el plano \(x + y - z = 3\).
(c) (1 p.) Determine los puntos de la recta \(r\) que equidistan de ambos planos.
Solución
Apartado (c): Puntos de la recta que equidistan de ambos planos.
El punto genérico de la recta \(r\) es \(P(1 + 2\lambda, -1 + \lambda, 3\lambda)\).
La distancia de \(P\) al plano \(x + y + z = -3\) es:
\[ d(P, \pi_1) = \frac{|(1 + 2\lambda) + (-1 + \lambda) + 3\lambda + 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|6\lambda + 3|}{\sqrt{3}}. \]La distancia de \(P\) al plano \(x + y - z = 3\) es:
\[ d(P, \pi_2) = \frac{|(1 + 2\lambda) + (-1 + \lambda) - 3\lambda - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{| - 3|}{\sqrt{3}}. \]Para que \(P\) equidiste de ambos planos, igualamos las dos distancias:
\[ \frac{|6\lambda + 3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}, \] lo que implica: \[ |6\lambda + 3| = 3. \] Resolviendo: \[ 6\lambda + 3 = 3 \quad \Longrightarrow \quad \lambda = 0, \] y \[ 6\lambda + 3 = -3 \quad \Longrightarrow \quad \lambda = -1. \]Por lo tanto, los puntos de la recta que equidistan de ambos planos son \(P(1, -1, 0)\) y \(Q(-1, -2, -3)\).