Apartado a:

Para determinar si las rectas \(r\) y \(s\) tienen un punto de intersección (es decir, si se cortan) se escriben sus ecuaciones implícitas en un único sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas \(x\), \(y\) y \(z\):

• De \(r\): \(x+2y=13\) y \(z=2\).
• De \(s\): \(y+2z=4\) y \(-x+y=3\).

El sistema es:

\[ \begin{array}{cccc} x & +\; 2y & +\; 0z & = 13 \quad (1)\\[4mm] 0x & +\; 0y & +\; 1z & = 2 \quad (2)\\[4mm] 0x & +\; 1y & +\; 2z & = 4 \quad (3)\\[4mm] -x & +\; 1y & +\; 0z & = 3 \quad (4) \end{array} \]

Ahora aplicamos el método de Gauss (haciendo ceros debajo de las cabeceras de fila, sin normalizar):

Partimos de la matriz aumentada:

\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 13\\[4mm] 0 & 0 & 1 & 2\\[4mm] 0 & 1 & 2 & 4\\[4mm] -1 & 1 & 0 & 3 \end{array}\right]. \]

Paso 1: Usamos la fila 1 como pivote para la primera columna y hacemos cero debajo. En la fila 4, sumamos la fila 1 (ya que \(-1+1=0\)):

\[ \text{Fila 4} \leftarrow \text{Fila 4} + \text{Fila 1} \quad \Rightarrow\quad [-1+1,\;1+2,\;0+0,\;3+13] = [0,\;3,\;0,\;16]. \]

La matriz queda:

\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 13\\[4mm] 0 & 0 & 1 & 2\\[4mm] 0 & 1 & 2 & 4\\[4mm] 0 & 3 & 0 & 16 \end{array}\right]. \]

Paso 2: Reordenamos las filas para tener un pivote en la segunda columna; intercambiamos la fila 2 y la fila 3:

\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 13\\[4mm] 0 & 1 & 2 & 4\\[4mm] 0 & 0 & 1 & 2\\[4mm] 0 & 3 & 0 & 16 \end{array}\right]. \]

Paso 3: Usamos la fila 2 como pivote en la segunda columna y hacemos cero en la fila 4:

Fila 4: \([0,3,0,16] - 3 \times [0,1,2,4] = [0,3-3,0-6,16-12] = [0,0,-6,4]\).

La matriz se transforma en:

\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 13\\[4mm] 0 & 1 & 2 & 4\\[4mm] 0 & 0 & 1 & 2\\[4mm] 0 & 0 & -6 & 4 \end{array}\right]. \]

Paso 4: Usamos la fila 3 como pivote en la tercera columna para eliminar el -6 de la fila 4:

Fila 4: \([0,0,-6,4] + 6 \times [0,0,1,2] = [0,0,0,16]\).

La matriz final es:

\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 13\\[4mm] 0 & 1 & 2 & 4\\[4mm] 0 & 0 & 1 & 2\\[4mm] 0 & 0 & 0 & 16 \end{array}\right]. \]

Aplicando el teorema del rango:

• El rango de la matriz de coeficientes (las tres primeras columnas) es 3, ya que las filas 1, 2 y 3 tienen cabecera.
• El rango de la matriz aumentada es 4, pues la fila 4 es \([0\;0\;0\;|\,16]\) con un término independiente distinto de 0.

Dado que el rango de la matriz de coeficientes es menor que el rango de la matriz aumentada, el sistema es incompatible, es decir, no existe ningún punto común que satisfaga todas las ecuaciones. Por ello, las rectas \(r\) y \(s\) no se cortan.

Ahora vamos a comprobar que las rectas no son paralelas, para ello hallamos los vectores directores de las dos rectas y comprobamos que no son proporcionales.

Para la recta \(r\), las ecuaciones implícitas son:

• \(x+2y=13\) con vector normal \( \mathbf{n}_r^1=(1,2,0) \).
• \(z=2\) con vector normal \( \mathbf{n}_r^2=(0,0,1) \).

El vector director de \(r\) se obtiene mediante:

\[ \vec{v}_r=\mathbf{n}_r^1\times \mathbf{n}_r^2=(1,2,0)\times (0,0,1). \]

Calculando:

• \(v_{r_x} = 2\cdot1-0\cdot0=2\).
• \(v_{r_y} = 0\cdot0-1\cdot1=-1\).
• \(v_{r_z} = 1\cdot0-2\cdot0=0\).

Por lo tanto, \(\vec{v}_r=(2,-1,0)\) (o, de forma equivalente, \((-2,1,0)\)).

Para la recta \(s\), las ecuaciones implícitas son:

• \(y+2z=4\) con vector normal \( \mathbf{n}_s^1=(0,1,2) \).
• \(-x+y=3\) con vector normal \( \mathbf{n}_s^2=(-1,1,0) \).

El vector director de \(s\) se obtiene mediante:

\[ \vec{v}_s=\mathbf{n}_s^1\times \mathbf{n}_s^2=(0,1,2)\times (-1,1,0). \]

Calculando:

• \(v_{s_x} = 1\cdot0 - 2\cdot1 = -2\).
• \(v_{s_y} = 2\cdot(-1) - 0\cdot0 = -2\).
• \(v_{s_z} = 0\cdot1 - 1\cdot(-1) = 1\).

Así, \(\vec{v}_s=(-2,-2,1)\), que es equivalente a \((-2,-2,1)= -2\,(1,1,-\tfrac{1}{2})\).

Para que dos rectas sean paralelas, debe existir un escalar \(k\) tal que \(\vec{v}_r=k\,\vec{v}_s\). Comparando:

\[ (2,-1,0) \quad \text{y} \quad (-2,-2,1), \]

observamos que no existe un escalar único \(k\) que haga estas componentes proporcionales. Por lo tanto, los vectores directores no son paralelos y, en consecuencia, las rectas \(r\) y \(s\) no son paralelas.

Dado que el sistema es incompatible (no se cortan) y además no son paralelas, se concluye que las rectas se cruzan en el espacio.