POSICIÓN RELATIVA DE UNA RECTA Y UN PLANO
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¿cómo hallo la posición relativa de una recta y un plano?
La posición relativa de una recta y un plano en el espacio tridimensional puede ser de tres tipos:
- Recta secante al plano:
En este caso, la recta y el plano se intersecan en un único punto. Esto ocurre cuando el vector director de la recta no es perpendicular al vector normal al plano.
Si escribimos un sistema con las ecuaciones de la recta y del plano este sistema es compatible determinado.
- Recta contenida en el plano:
En este caso, todos los puntos de la recta pertenecen al plano. Esto ocurre cuando el vector director de la recta es perpendicular al vector normal al plano y la recta pasa por un punto del plano.
Si escribimos un sistema con las ecuaciones de la recta y del plano este sistema es compatible indeterminado.
- Recta paralela al plano:
En este caso, la recta y el plano nunca se intersecan, sin importar la distancia que se recorra a lo largo de la recta. Esto ocurre cuando la dirección de la recta es perpendicular al vector normal del plano, pero la recta no pasa por ningún punto del plano.
Si escribimos un sistema con las ecuaciones de la recta y del plano este sistema es incompatible.
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exámenes de pau de matemáticas ii
PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024
Pregunta 6.
Se consideran los puntos \[ A=(1,1,1),\quad B=(1,0,2),\quad C=(-1,1,3),\quad \text{y}\quad D=(-1,0,1) \] de \(\mathbb{R}^3\).
(a) [0.75 p.] Estudia si existe un plano que contenga a los cuatro puntos.
(b) [0.75 p.] Calcula la recta \(r\) que pasa por \(D\) y es perpendicular al plano \(\pi\) que contiene a \(A\), \(B\) y \(C\).
(c) [1 p.] Calcula el punto \(P\) de intersección de \(r\) y \(\pi\).
Solución
Apartado b: Cálculo de la recta \(r\) perpendicular al plano \(\pi\) que contiene a \(A\), \(B\) y \(C\), pasando por \(D\)
Primero, hallamos la ecuación del plano \(\pi\) que contiene a \(A\), \(B\) y \(C\).
Tomamos \(A=(1,1,1)\). Calculamos los vectores:
- \( \overrightarrow{AB}=B-A=(0,\;-1,\;1).\)
- \( \overrightarrow{AC}=C-A=(-2,\,0,\,2).\)
El vector normal \( \mathbf{n}\) al plano se obtiene con el producto vectorial:
\[ \mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}. \]
Calculamos:
\[ \mathbf{n}=\begin{pmatrix} i & j & k\\[4mm] 0 & -1 & 1\\[4mm] -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}. \]
Usando la fórmula del determinante:
- \(n_1=(-1)(2)- (1)(0)=-2.\)
- \(n_2= -\bigl[0\cdot2- (1)(-2)\bigr]= -[0+2]=-2.\)
- \(n_3=0\cdot0- (-1)(-2)= 0-2=-2.\)
Por lo tanto, \( \mathbf{n}=(-2,-2,-2)\), que podemos simplificar a \( (1,1,1)\) tomando la dirección opuesta.
La ecuación del plano \(\pi\) que pasa por \(A=(1,1,1)\) y tiene normal \((1,1,1)\) es:
\((x-1)+(y-1)+(z-1)=0\) → \(x+y+z=3\).
Ahora, la recta \(r\) que debe ser perpendicular a \(\pi\) tiene como dirección el vector normal \((1,1,1)\). Dado que \(r\) pasa por \(D=(-1,0,1)\), las ecuaciones paramétricas de \(r\) son:
\[ \begin{cases} x=-1+t,\\[2mm] y=0+t,\\[2mm] z=1+t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}. \]
Apartado c: Cálculo del punto \(P\) de intersección de \(r\) y \(\pi\)
La ecuación del plano \(\pi\) es:
\[ x+y+z=3. \]
Las ecuaciones paramétricas de la recta \(r\) son:
\[ \begin{cases} x=-1+t,\\[2mm] y=t,\\[2mm] z=1+t. \end{cases} \]
Sustituyendo en la ecuación del plano:
\((-1+t)+t+(1+t)=3.\)
Simplificamos:
\(-1+t+t+1+t=3 \quad \Rightarrow \quad 3t=3 \quad \Rightarrow \quad t=1. \)
Sustituyendo \(t=1\) en las ecuaciones paramétricas de \(r\):
- \(x=-1+1=0,\)
- \(y=1,\)
- \(z=1+1=2.\)
Por lo tanto, el punto de intersección es:
\(\boxed{P=(0,1,2)}.\)
EBAU Región de Murcia Junio 2024
Problema 5
Considere el plano \(p\) de ecuación \[ x+y+z=-1, \] y la recta \(r\) dada por \[ \frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{0}. \]
a) Compruebe que el plano \(p\) y la recta \(r\) son paralelos. b) Calcule la distancia de la recta \(r\) al plano \(p\). c) Calcule la ecuación general (o implícita) del plano que contiene a la recta \(r\) y es perpendicular al plano \(p\).
Solución
Apartado a:
De la ecuación continua de la recta \(r\) concluimos que su vector director es:
\[ \vec{v}=(1,-1,0). \]
El vector normal al plano \(p\) es: \[ \vec{n}=(1,1,1) \] (ya que su ecuación se puede escribir como \(1\cdot x+1\cdot y+1\cdot z+1=0\)).
Si la recta es paralela al plano entonces el producto escalar del vector director de la recta y del vector normal al plano es cero:
\[ \vec{v}\cdot\vec{n}=1\cdot1+(-1)\cdot1+0\cdot1=1-1+0=0. \]Además, es necesario comprobar que el punto que aparece en la ecuación continua de \(r\) no pertenece al plano \(p\), ya que si lo hiciera, la recta estaría contenida en \(p\) en lugar de ser simplemente paralela.
Tomamos el punto \(P(0,1,0)\) de \(r\). Sustituyendo en la ecuación del plano:
\[ 0+1+0=1 \neq -1. \]Dado que \(P\) no satisface la ecuación del plano y que el vector director de la recta es perpendicular al vector normal al plano, concluimos que la recta \(r\) es paralela a \(p\).
ABAU Galicia Convocatoria Ordinaria 2024
Enunciado
PREGUNTA 5
a) Considérese el plano \( \pi: 4x + 2y + bz = 2 \) y la recta \( r: \frac{x-2}{3} = \frac{y-c}{2} = \frac{z-3}{4} \), donde \( b \) y \( c \) son parámetros reales. Calcule los valores de \( b \) y \( c \) para que la recta \( r \) esté contenida en \( \pi \).
b) Calcule la distancia del punto \( P(1,3,1) \) al plano \( \pi': 4x + 2y - 4z = 2 \).
Solución apartado a:
Condiciones para que una recta esté contenida en un plano
Para que la recta \( r \) esté contenida en el plano \( \pi \), se deben cumplir:
- Cualquier punto de la recta pertenece al plano.
- El vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano.
Paso 1: Imponemos la condición de que el punto de la recta pertenece al plano \( r \)
La ecuación continua de \( r \) es:
\[ \frac{x-2}{3} = \frac{y-c}{2} = \frac{z-3}{4} = 0 \quad \Rightarrow \quad (x, y, z) = (2, c, 3) \]Este punto debe satisfacer la ecuación del plano \( \pi \):
\[ 4(2) + 2(c) + b(3) = 2 \quad \Rightarrow \quad 8 + 2c + 3b = 2 \quad \Rightarrow \quad 2c + 3b = -6 \quad \text{(Ecuación 1)} \]Paso 2: Condición de perpendicularidad
El vector director de \( r \) es \( \vec{d} = (3, 2, 4) \).
El vector normal del plano \( \pi \) es \( \vec{n} = (4, 2, b) \).
Para que sean perpendiculares su producto escalar debe ser cero:
\[ \vec{d} \cdot \vec{n} = 0 \quad \Rightarrow \quad 3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot b = 0 \] \[ 12 + 4 + 4b = 0 \quad \Rightarrow \quad 4b = -16 \quad \Rightarrow \quad b = -4 \]Paso 3: Hallamos \( c \)
Sustituimos \( b = -4 \) en la Ecuación 1:
\[ 2c + 3(-4) = -6 \quad \Rightarrow \quad 2c - 12 = -6 \quad \Rightarrow \quad 2c = 6 \quad \Rightarrow \quad c = 3 \]Resultado: \( \boxed{b = -4} \) y \( \boxed{c = 3} \).
EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024
Problema 6
Considere los planos \(x + y + z = -3\) y \(x + y - z = 3\), y la recta \(r\):
\[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{3}. \](a) (0,75 p.) Compruebe que ambos planos se cortan y calcule el ángulo que forman.
(b) (0,75 p.) Estudie la posición relativa de la recta \(r\) con el plano \(x + y - z = 3\).
(c) (1 p.) Determine los puntos de la recta \(r\) que equidistan de ambos planos.
Solución
Apartado (b): Posición relativa de la recta \(r\) con respecto al plano \(x + y - z = 3\).
La ecuación paramétrica de la recta \(r\) es:
\[ \begin{aligned} x &= 1 + 2\lambda, \\ y &= -1 + \lambda, \\ z &= 3\lambda. \end{aligned} \]Para estudiar la posición relativa de la recta respecto al plano, sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano:
\[ (1 + 2\lambda) + (-1 + \lambda) - 3\lambda = 3. \] Simplificando: \[ 1 + 2\lambda - 1 + \lambda - 3\lambda = 3 \quad \Longrightarrow \quad 0 = 3. \]La ecuación es inconsistente, lo que significa que la recta no corta al plano, por lo tanto, son paralelos.