Parte (a): Determinación de \(k\) para que las rectas sean paralelas y no coincidentes.

Análisis de \(r_1\): La recta \(r_1\) se da por: \[ r_1: \begin{cases} x = 1,\\[1mm] y = k\,t,\\[1mm] z = k - 2t. \end{cases} \] Su vector director es: \[ \mathbf{v}_1 = (0,\, k,\,-2). \]

Análisis de \(r_2\): La recta \(r_2\) es la intersección de los planos: \[ \pi_1: x+2y+2z = -1 \quad \text{y} \quad \pi_2: x+y+z = k. \] Los vectores normales de estos planos son: \[ \mathbf{n}_1 = (1,2,2) \quad \text{y} \quad \mathbf{n}_2 = (1,1,1). \] El vector director de \(r_2\) es el producto vectorial: \[ \mathbf{v}_2 = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2. \] Calculamos: \[ \mathbf{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \Bigl( (2\cdot1-2\cdot1),\; -\bigl(1\cdot1-2\cdot1\bigr),\; (1\cdot1-2\cdot1) \Bigr) = (0,\, 1,\,-1). \]

Para que \(r_1\) y \(r_2\) sean paralelas, debe existir un escalar \(\lambda\) tal que: \[ (0,\, k,\,-2) = \lambda (0,\, 1,\,-1). \] Esto implica:

• \(k = \lambda\),
• \(-2 = -\lambda\) lo que da \(\lambda = 2\).

Por lo tanto, para que sean paralelas se debe cumplir \(k = 2\).

Comprobación de no coincidencia: Para demostrar que las rectas no son coincidentes cuando \(k = 2\), comprobamos que un punto de \(r_1\) no pertenece a \(r_2\).

Para \(k = 2\), \(r_1\) queda: \[ r_1: \begin{cases} x = 1,\\[1mm] y = 2t,\\[1mm] z = 2 - 2t. \end{cases} \] Tomemos \(t = 0\); obtenemos el punto \(A = (1,0,2)\) en \(r_1\).

Verifiquemos si \(A\) satisface las ecuaciones que definen \(r_2\). Para \(k = 2\), \(r_2\) se define por los planos: \[ \pi_1: x+2y+2z=-1 \quad \text{y} \quad \pi_2: x+y+z=2. \] Sustituyendo \(A=(1,0,2)\) en \(\pi_1\): \[ 1 + 2\cdot0 + 2\cdot2 = 1 + 4 = 5 \neq -1. \] Y en \(\pi_2\): \[ 1 + 0 + 2 = 3 \neq 2. \] Por lo tanto, \(A\) no pertenece a \(r_2\); así, las rectas son paralelas pero no coincidentes.

Parte (b): Determinar si, para \(k = 2\), existe un plano que contenga a las rectas \(r_1\) y \(r_2\) y, en caso afirmativo, calcular dicho plano.

Análisis de \(r_1\) para \(k=2\):

Con \(k=2\), \(r_1\) queda:

\[ r_1: \begin{cases} x = 1,\\[1mm] y = 2t,\\[1mm] z = 2-2t. \end{cases} \]

El vector director de \(r_1\) es \(\mathbf{v}_1 = (0,2,-2)\), el cual es proporcional a \((0,1,-1)\).

Análisis de \(r_2\) para \(k=2\):

Con \(k=2\), \(r_2\) se define por los planos:

\[ \pi_1: x+2y+2z=-1, \quad \pi_2: x+y+z=2. \]

El vector director de \(r_2\) ya se calculó y es:

\[ \mathbf{v}_2 = (0,1,-1). \]

Construcción del plano que contenga ambas rectas:

El plano que contenga a ambas rectas debe pasar por un punto de \(r_1\) y \(r_2\) (podemos elegir un punto de \(r_1\) y verificar que está en \(r_2\) si fuera coincidencia, pero ya sabemos que las rectas son paralelas no coincidentes) y tener un vector normal perpendicular a los vectores directores de ambas rectas.

El procedimiento consiste en tomar un punto \(A\) de \(r_1\) y un punto \(B\) de \(r_2\), formar el vector \(\overrightarrow{AB}\) y usar \(\mathbf{v}_2\) (o \(\mathbf{v}_1\)) para obtener el vector normal del plano.

Elijamos \(A \in r_1\). Por ejemplo, para \(t=0\) en \(r_1\), tenemos:

\[ A = (1, 0, 2). \]

Para hallar un punto \(B\) en \(r_2\), resolvamos el sistema que define \(r_2\):

Los planos son:

\[ \begin{cases} x+2y+2z=-1,\\[1mm] x+y+z=2. \end{cases} \]

Restamos la segunda ecuación de la primera:

\[ (x+2y+2z)-(x+y+z) = -1-2 \quad \Longrightarrow \quad y+z = -3. \]

Elijamos \(y = 0\); entonces \(z = -3\). Sustituyendo en \(x+y+z=2\):

\[ x+0-3=2 \quad \Longrightarrow \quad x = 5. \]

Así, un punto de \(r_2\) es:

\[ B = (5, 0, -3). \]

El vector que une \(A\) y \(B\) es:

\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (5-1,\, 0-0,\, -3-2) = (4,\, 0,\, -5). \]

El plano que contenga a ambas rectas se determinará mediante el punto \(A\) y dos vectores directores: el vector \(\mathbf{v} = (0,1,-1)\) (común a ambas) y \(\overrightarrow{AB} = (4,0,-5)\).

El vector normal del plano es el producto vectorial:

\[ \mathbf{n} = \mathbf{v} \times \overrightarrow{AB}. \]

Con \(\mathbf{v} = (0,1,-1)\) y \(\overrightarrow{AB} = (4,0,-5)\), se tiene:

\[ \mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ 4 & 0 & -5 \end{vmatrix} = \Bigl( 1\cdot(-5) - (-1)\cdot0,\; -\bigl(0\cdot(-5)-(-1)\cdot4\bigr),\; 0\cdot0 - 1\cdot4 \Bigr). \]

Cálculos:

• \(n_x = -5 - 0 = -5\),
• \(n_y = -\bigl(0 + 4\bigr) = -4\),
• \(n_z = 0 - 4 = -4\).

Multiplicamos por \(-1\) para obtener un vector normal equivalente:

\[ \mathbf{n} = (5,4,4). \]

La ecuación del plano que pasa por \(A=(1,0,2)\) con normal \(\mathbf{n}=(5,4,4)\) es:

\[ 5(x-1)+4(y-0)+4(z-2)=0. \]

Desarrollando:

\[ 5x - 5 + 4y + 4z - 8 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 5x + 4y + 4z - 13 = 0. \]

Por lo tanto, existe un plano que contiene a \(r_1\) y \(r_2\) para \(k=2\), y su ecuación es:

\[ 5x + 4y + 4z - 13 = 0. \]