Plano que contiene a un punto y es perpendicular a una recta

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¿cómo hallo un plano que contiene a un punto y es perpendicular a una recta?

Para hallar un plano que contiene a un punto y es perpendicular a una recta necesito conocer las coordenadas del punto y el vector director de la recta que será el vector normal al plano. Con el punto y el vector director de la recta ya puedo escribir todas las ecuaciones del plano que me piden.

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exámenes de pau de matemáticas ii

Problema 8 - Análisis de Planos

EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024

Problema 8

Dado el punto \(P \equiv (2,-1,3)\), halla las ecuaciones de los siguientes planos que contienen a \(P\).

(i) Paralelo a \(\pi : 4x+3y-2z+4=0\).

(ii) Perpendicular a la recta \(r \equiv \frac{x-3}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z+2}{-4}\).

Solución

Parte (ii): Hallar el plano perpendicular a la recta \[ r \equiv \frac{x-3}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z+2}{-4}, \] que contiene a \(P(2,-1,3)\).

Pasos:

  1. La ecuación continua de la recta \(r\) indica que su vector director es: \[ \mathbf{v}=(3,2,-4). \]

  2. Si un plano es perpendicular a la recta \(r\), entonces el vector director \(\mathbf{v}\) es paralelo al vector normal del plano. Por ello, podemos tomar como vector normal del plano a \(\mathbf{n}=(3,2,-4)\).

  3. La ecuación del plano será de la forma: \[ 3x+2y-4z+d=0, \] donde \(d\) es una constante a determinar.

  4. Como el plano contiene al punto \(P(2,-1,3)\), sustituimos sus coordenadas en la ecuación: \[ 3(2)+2(-1)-4(3)+d=0. \]

  5. Calculamos: \[ 6-2-12+d=0 \quad \Longrightarrow \quad -8+d=0, \] lo que implica \(d=8\).

  6. La ecuación del plano es: \[ 3x+2y-4z+8=0. \]