Plano que contiene a una recta y es perpendicular a otro plano
Conocimientos previos
concepto y ejemplos: vídeo y pdf para descargar
Plano que contiene una recta y es perpendicular a otro plano: Enlace al vídeo
PDF del vídeo: Descargar PDF
¿cómo hallo un plano que contiene a un recta y es perpendicular a otro plano?
Para hallar un plano que contiene a una recta y es perpendicular a otro plano necesito conocer un punto y el vector director de la recta así como el vector normal al otro plano. Con el punto y los dos vectores ya puedo escribir todas las ecuaciones del plano que me piden.
PROBLEMAS/ejercicios RESUELTOS: vídeos y pdf para descargar
exámenes de pau de matemáticas ii
EBAU Región de Murcia Junio 2024
Problema 5
Considere el plano \(p\) de ecuación \[ x+y+z=-1, \] y la recta \(r\) dada por \[ \frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{0}. \]
a) Compruebe que el plano \(p\) y la recta \(r\) son paralelos. b) Calcule la distancia de la recta \(r\) al plano \(p\). c) Calcule la ecuación general (o implícita) del plano que contiene a la recta \(r\) y es perpendicular al plano \(p\).
Apartado c: Ecuación del plano que contiene a \(r\) y es perpendicular a \(p\)
Sea \(Q\) el plano buscado. Como \(Q\) contiene la recta \(r\), su dirección \(\vec{v}=(1,-1,0)\) está en \(Q\). Además, al ser \(Q\) perpendicular a \(p\), debe contener el vector normal de \(p\), es decir, \(\vec{n}_p=(1,1,1)\).
Así, dos vectores en \(Q\) son:
\[ \vec{v}=(1,-1,0) \quad \text{y} \quad \vec{w}=(1,1,1). \]El vector normal a \(Q\) se obtiene mediante el producto vectorial:
\[ \vec{n}_Q=\vec{v}\times\vec{w}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \bigl((-1)(1)-0\cdot1\bigr)\mathbf{i} - \bigl(1\cdot1-0\cdot1\bigr)\mathbf{j} + \bigl(1\cdot1-(-1)\cdot1\bigr)\mathbf{k}. \]Esto da:
\[ \vec{n}_Q=(-1,-1,2). \]Utilizando el punto \(P(0,1,0)\) de \(r\), la ecuación del plano \(Q\) es:
\[ -1\,(x-0)-1\,(y-1)+2\,(z-0)=0. \]Simplificando:
\[ -x - y + 1 + 2z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x+y-2z = 1. \]