recta que pasa por un punto y es perpendicular a un plano
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¿Cómo hallo una recta que pasa por un punto y es perpendicular a una recta?
Para hallar una recta que pasa por un punto y es perpendicular a un plano necesitamos conocer las coordenadas del punto y el vector normal al plano, que será el vector director de la recta. Con esos datos ya podremos escribir todas las ecuaciones de la recta.
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exámenes de pau de matemáticas ii
PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024
Pregunta 6.
Se consideran los puntos \[ A=(1,1,1),\quad B=(1,0,2),\quad C=(-1,1,3),\quad \text{y}\quad D=(-1,0,1) \] de \(\mathbb{R}^3\).
(a) [0.75 p.] Estudia si existe un plano que contenga a los cuatro puntos.
(b) [0.75 p.] Calcula la recta \(r\) que pasa por \(D\) y es perpendicular al plano \(\pi\) que contiene a \(A\), \(B\) y \(C\).
(c) [1 p.] Calcula el punto \(P\) de intersección de \(r\) y \(\pi\).
Solución
Apartado b: Cálculo de la recta \(r\) perpendicular al plano \(\pi\) que contiene a \(A\), \(B\) y \(C\), pasando por \(D\)
Primero, hallamos la ecuación del plano \(\pi\) que contiene a \(A\), \(B\) y \(C\).
Tomamos \(A=(1,1,1)\). Calculamos los vectores:
- \( \overrightarrow{AB}=B-A=(0,\;-1,\;1).\)
- \( \overrightarrow{AC}=C-A=(-2,\,0,\,2).\)
El vector normal \( \mathbf{n}\) al plano se obtiene con el producto vectorial:
\[ \mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}. \]
Calculamos:
\[ \mathbf{n}=\begin{pmatrix} i & j & k\\[4mm] 0 & -1 & 1\\[4mm] -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}. \]
Usando la fórmula del determinante:
- \(n_1=(-1)(2)- (1)(0)=-2.\)
- \(n_2= -\bigl[0\cdot2- (1)(-2)\bigr]= -[0+2]=-2.\)
- \(n_3=0\cdot0- (-1)(-2)= 0-2=-2.\)
Por lo tanto, \( \mathbf{n}=(-2,-2,-2)\), que podemos simplificar a \( (1,1,1)\) tomando la dirección opuesta.
La ecuación del plano \(\pi\) que pasa por \(A=(1,1,1)\) y tiene normal \((1,1,1)\) es:
\((x-1)+(y-1)+(z-1)=0\) → \(x+y+z=3\).
Ahora, la recta \(r\) que debe ser perpendicular a \(\pi\) tiene como dirección el vector normal \((1,1,1)\). Dado que \(r\) pasa por \(D=(-1,0,1)\), las ecuaciones paramétricas de \(r\) son:
\[ \begin{cases} x=-1+t,\\[2mm] y=0+t,\\[2mm] z=1+t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}. \]
La ecuación continua de \(r\) es:
\[ \frac{x+1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}. \]
PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024
Pregunta 5.
Se consideran los puntos \[ A=(0,-1,1) \quad \text{y} \quad B=(2,1,3) \] de \(\mathbb{R}^3\).
(a) [1.25 p.] Encuentra la ecuación del plano \(\pi\) que cumple que los dos puntos son simétricos respecto a él.
(b) [1.25 p.] Encuentra la ecuación continua de la recta \(r\) perpendicular al plano \(\pi' \equiv x+y+z=3\) y que contiene al punto \[ Q=(1,0,1). \]
Solución
Apartado b: Cálculo de la ecuación continua de la recta \(r\)
Se nos pide encontrar la recta \(r\) que es perpendicular al plano \(\pi' \equiv x+y+z=3\) y que pasa por el punto \[ Q=(1,0,1). \]
Recordamos que la recta perpendicular a un plano tiene como dirección el vector normal del plano. Para el plano \(\pi'\), la ecuación \(x+y+z=3\) tiene un vector normal:
\[ \mathbf{n}=(1,1,1). \]
Por lo tanto, la dirección de la recta \(r\) es \(\mathbf{v}=(1,1,1)\).
La ecuación continua de la recta es:
\[ \frac{x-1}{1}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-1}{1}, \]
es decir,
\[ \boxed{\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}.} \]