DEFINICIÓN Y REPRESENTACIÓN DE VECTORES EN EL ESPACIO
Conocimientos previos
- Conceptos básicos sobre el espacio tridimensional.
- Segmento, punto medio de un segmento y segmento orientado.
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¿qUÉ ES UN VECTOR? ¿cÓMO REPRESENTO UN VECTOR?
Un vector es un segmento orientado (esto es, tiene módulo o longitud, dirección y sentido) que conecta dos puntos. Así pues, el segmento orientado OP (Cuando algo vaya en negrita es un vector) es el vector que conecta el origen con el punto P (se le llama vector de posición del punto P) y sus componentes coinciden con las coordenadas del punto P: OP = (Px,Py,Pz).
Si queremos hallar el segmento orientado o vector que conecta dos puntos P y Q haremos: PQ = OQ - OP = (Qx-Px,Qy-Py,Qz-Pz), esto es, a las coordenadas del extremo le restaremos las coordenadas del origen.
Existe un tipo especial de vectores, los vectores libres, que se pueden aplicar en cualquier punto del espacio y que nos permiten definir rectas y planos. Suelen representarse mediante u, v, w, ....
Cuando escribimos v = PQ queremos decir que el vector v es el vector cuyas componentes son las mismas que las del segmento orientado PQ.
Para dar las componentes de un vector v escribiremos: v = (vx,vy,vz).
Hay tres vectores que tienen especial relevancia y que llamamos vectores unitarios según los ejes coordenados (i, j, k). Son tres vectores de longitud unidad que apuntan, respectivamente, en los sentidos positivos de los ejes x, y y z. Sus componentes son:
i = (1,0,0), j=(0,1,0) y k=(0,0,1).
Cuando escribimos las coordenadas de un punto, P(Px,Py,Pz), estamos diciendo realmente: OP = Pxi + Pyj + Pzk, y cuando escribimos las componentes de un vector, v = (vx,vy,vz) estamos diciendo realmente que: v = vxi + vyj + vzk.