CÁLCULO DE ÁREAS

Conocimientos previos

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¿cÓMO HALLO UN ÁREA USANDO INTEGRALES?

El cálculo de áreas mediante integrales es una aplicación fundamental del cálculo integral. Se basa en el concepto de que el área encerrada entre una curva y el eje puede determinarse mediante la integral definida de la función que representa la curva en el intervalo correspondiente.

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exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii

Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria Examen suplente) Ejercicio 3 Apartado b: Enlace al vídeo (Enlace al ap. a)

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Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria Examen suplente) Ejercicio 4 Apartado b: Enlace al vídeo

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exámenes de pau de matemáticas ii

Problema A2 - ABAU Galicia Convocatoria Ordinaria 2024 - Matemáticas II

PAU Madrid Convocatoria Ordinaria 2024 - Matemáticas II

Problema A2

Sea la función $f (x) = x^{4} + π x^{3} + π^{2} x^{2} + π^{3} x + π^{4} .$

Se pide:

(a) [0.5 puntos] Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en $x = π$ .
(b) [1 punto] Probar que $f$ tiene, al menos, un punto con derivada nula en el intervalo $(- π, 0)$ utilizando, justificadamente, el teorema de Rolle, y volver a probar la misma afirmación utilizando, adecuadamente, el teorema de Bolzano.
(c) [1 punto] Sea $g (x) = f (- x)$ ; calcular el área entre las gráficas de $f (x)$ y $g (x)$ en el intervalo $[0, π]$ .

Solución

Apartado (c): Cálculo del área entre $f (x)$ y $g (x)$ en $[0, π]$

Sea $g (x) = f (- x)$ . Entonces:

$g (x) = f (- x) = (- x)^{4} + π (- x)^{3} + π^{2} (- x)^{2} + π^{3} (- x) + π^{4} .$

Simplificando, usamos que $(- x)^{4} = x^{4}$ , $(- x)^{3} = - x^{3}$ y $(- x)^{2} = x^{2}$ :

$g (x) = x^{4} - π x^{3} + π^{2} x^{2} - π^{3} x + π^{4} .$

La diferencia entre $f (x)$ y $g (x)$ es:

$f (x) - g (x) = [x^{4} + π x^{3} + π^{2} x^{2} + π^{3} x + π^{4}] - [x^{4} - π x^{3} + π^{2} x^{2} - π^{3} x + π^{4}] .$

Cancelando términos comunes:

$f (x) - g (x) = 2 π x^{3} + 2 π^{3} x .$

En el intervalo $[0, π]$ esta diferencia es no negativa, por lo que el área entre las gráficas es:

$Área = \int_{0}^{π} [2 π x^{3} + 2 π^{3} x] d x .$

Separamos la integral:

$2 π \int_{0}^{π} x^{3} d x + 2 π^{3} \int_{0}^{π} x d x .$

Calculamos las integrales:

$\int_{0}^{π} x^{3} d x = {\frac{x^{4}}{4} |}_{0}^{π} = \frac{π^{4}}{4} .$
$\int_{0}^{π} x d x = {\frac{x^{2}}{2} |}_{0}^{π} = \frac{π^{2}}{2} .$

Sustituyendo, el área es:

$2 π \cdot \frac{π^{4}}{4} + 2 π^{3} \cdot \frac{π^{2}}{2} = \frac{2 π^{5}}{4} + π^{5} = \frac{π^{5}}{2} + π^{5} = \frac{3 π^{5}}{2} .$

Problema 4 - PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024

PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024

Pregunta 4.

Dada la función $f (x) = \sin (π - 2 x),$ (a) [1.25 p.] Calcula una primitiva de $f$ que pase por el punto $(\frac{π}{2}, 1)$ . (b) [1.25 p.] Calcula el área limitada por la función $f$ , el eje $O X$ y las rectas verticales $x = - \frac{π}{4}$ y $x = \frac{π}{4}$ .

Solución

Apartado b: Cálculo del área limitada por $f (x) = \sin (π - 2 x)$ , el eje $O X$ y las rectas $x = - \frac{π}{4}$ y $x = \frac{π}{4}$

Primero, determinamos el comportamiento de $f (x)$ en el intervalo $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ .

Observamos que:

En $x = - \frac{π}{4}$ : $f (- \frac{π}{4}) = \sin (π - 2 (- \frac{π}{4})) = \sin (π + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2}) = - 1.$
En $x = 0$ : $f (0) = \sin (π - 0) = \sin (π) = 0.$
En $x = \frac{π}{4}$ : $f (\frac{π}{4}) = \sin (π - 2 (\frac{π}{4})) = \sin (π - \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2}) = 1.$

Así, en el intervalo $[- \frac{π}{4}, 0]$ la función es negativa y en $[0, \frac{π}{4}]$ es positiva. Para obtener el área total limitada por la gráfica y el eje $O X$ , calculamos:

$A = | \int_{- \frac{π}{4}}^{0} \sin (π - 2 x) d x | + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (π - 2 x) d x .$

Para hallar una primitiva $F (x)$ de $f (x)$ reescribimos la integral:

$F (x) = \int \sin (π - 2 x) d x = - \frac{1}{2} \int (- 2) \sin (π - 2 x) d x .$

Sabemos que $\int u^{'} \sin (u) d x = - \cos (u) + C$ , de modo que:

$F (x) = - \frac{1}{2} [- \cos (π - 2 x)] + C = \frac{1}{2} \cos (π - 2 x) + C .$

Calculamos el primer intervalo:

$\int_{- \frac{π}{4}}^{0} \sin (π - 2 x) d x = {[\frac{1}{2} \cos (π - 2 x)]}_{- \frac{π}{4}}^{0} .$

En $x = 0$ : $\frac{1}{2} \cos (π - 0) = \frac{1}{2} \cos (π) = \frac{1}{2} (- 1) = - \frac{1}{2} .$

En $x = - \frac{π}{4}$ : $\frac{1}{2} \cos (π - 2 (- \frac{π}{4})) = \frac{1}{2} \cos (π + \frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cos (\frac{3 π}{2}) = \frac{1}{2} (0) = 0.$

Por lo tanto, el área (valor absoluto) del primer intervalo es:

$| (- \frac{1}{2} - 0) | = \frac{1}{2} .$

Ahora, para el segundo intervalo:

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (π - 2 x) d x = {[\frac{1}{2} \cos (π - 2 x)]}_{0}^{\frac{π}{4}} .$

En $x = \frac{π}{4}$ : $\frac{1}{2} \cos (π - 2 (\frac{π}{4})) = \frac{1}{2} \cos (π - \frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cos (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} (0) = 0.$

En $x = 0$ : $\frac{1}{2} \cos (π) = \frac{1}{2} (- 1) = - \frac{1}{2} .$

Entonces, el área en este intervalo es:

$0 - (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} .$

Finalmente, el área total limitada es:

$A = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.$

Problema 4 - EBAU Región de Murcia Junio 2024

EBAU Región de Murcia Junio 2024

Problema 4

a) Calcule la siguiente integral indefinida: $\int x^{2} \sin x d x .$

b) Determine el área del recinto limitado por el eje $O X$ , las rectas verticales $x = - π / 2$ y $x = π / 2$ , y la gráfica de la función $f (x) = x^{2} \sin x$ .

Solución

Apartado b: Cálculo del área del recinto

Se desea calcular el área limitada por el eje $O X$ , las rectas $x = - π / 2$ y $x = π / 2$ , y la gráfica de $f (x) = x^{2} \sin x$ .

Como $x^{2} \geq 0$ y la función $\sin x$ es negativa en $[- \frac{π}{2}, 0)$ y positiva en $(0, \frac{π}{2}]$ , la función $f (x) = x^{2} \sin x$ es negativa en $[- \frac{π}{2}, 0)$ y positiva en $(0, \frac{π}{2}]$ . Por simetría, el área total es:

Área = | \int_{- \frac{π}{2}}^{0} x^{2} \sin x d x | + \int_{0}^{\frac{π}{2}} x^{2} \sin x d x = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} x^{2} \sin x d x .

Cálculo de la integral indefinida por partes:

Sea $u = x^{2}$ y $d v = \sin x d x$ . Entonces, $d u = 2 x d x$ y $v = - \cos x$ .
Aplicando integración por partes: $\int x^{2} \sin x d x = - x^{2} \cos x + 2 \int x \cos x d x .$
Para $\int x \cos x d x$ , tome $u = x$ y $d v = \cos x d x$ , de modo que $d u = d x$ y $v = \sin x$ : $\int x \cos x d x = x \sin x - \int \sin x d x = x \sin x + \cos x .$
Sustituyendo, se obtiene: $\int x^{2} \sin x d x = - x^{2} \cos x + 2 (x \sin x + \cos x) + C,$ es decir, $F (x) = - x^{2} \cos x + 2 x \sin x + 2 \cos x + C,$ que es una antiderivada de $x^{2} \sin x$ .

Ahora evaluamos $F (x)$ en los límites de integración:

En $x = \frac{π}{2}$ : $\cos \frac{π}{2} = 0$ y $\sin \frac{π}{2} = 1$ . Entonces: $F (\frac{π}{2}) = - (\frac{π}{2})^{2} \cdot 0 + 2 (\frac{π}{2}) \cdot 1 + 2 \cdot 0 = π .$
En $x = 0$ : $\cos 0 = 1$ y $\sin 0 = 0$ . Por lo tanto: $F (0) = - 0^{2} \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2.$

Así, la integral definida es:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} x^{2} \sin x d x = F (\frac{π}{2}) - F (0) = π - 2.

Por lo tanto, el área total es:

Área = 2 (π - 2) u^{2} .