TEOREMA DE BOLZANO
Conocimientos previos
concepto y ejemplos: vídeo y pdf para descargar
Teorema de Bolzano: Enlace al vídeo
PDF del vídeo: Descargar PDF
¿Qué dice el teorema de bolzano?
El Teorema de Bolzano es un caso particular del Teorema de los Valores Intermedios. Se enfoca en la existencia de raíces (ceros) de una función continua.
Enunciado del Teorema
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signos opuestos en los extremos del intervalo (es decir, f(a) y f(b) tienen signos diferentes), entonces existe al menos un número c en el intervalo abierto (a, b) tal que f(c) = 0.
En palabras más sencillas:
Si una función continua cambia de signo en un intervalo, el teorema garantiza que la función cruzará el eje x al menos una vez en ese intervalo, lo que significa que tiene al menos una raíz.
Interpretación Gráfica
Si dibujas la gráfica de una función continua que cambia de signo en un intervalo, la gráfica debe cruzar el eje x para pasar de valores positivos a negativos (o viceversa). El punto donde cruza el eje x es la raíz c.
Aplicaciones
El Teorema de Bolzano tiene aplicaciones importantes en:
- Encontrar raíces: Es una herramienta útil para determinar si una función tiene raíces en un intervalo dado y para aproximar el valor de esas raíces.
- Análisis numérico: Se utiliza en métodos numéricos para encontrar soluciones de ecuaciones.
- Modelado matemático: Ayuda a demostrar la existencia de soluciones en problemas de modelado donde una función cambia de signo.