paralelismo, perpendicularidad y posición relativa de dos planos
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¿Cómo sé si dos planos son coincientes, paralelos o secantes? ¿Cómo sé si dos planos son perpendiculares?
En esta sección vamos a estudiar cuándo son dos planos coincidentes, paralelos o secantes y, en caso de ser secantes, que debe ocurrir para que sean perpendiculares, partiendo de un punto y el vector normal a cada uno de los planos.
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exámenes de pau de matemáticas ii
EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024
Problema 5
Considere los planos \(x - y + z = 0\) y \(x + y - z = 2\) y los puntos \(P(1,2,3)\) y \(Q(1,1,3)\).
(a) (0,75 p.) Compruebe que ambos planos se cortan en una recta \(r\) y calcule la ecuación continua de dicha recta.
(b) (1 p.) Compruebe que el punto \(P\) no está en ninguno de los dos planos y calcule la ecuación de la recta que pasa por \(P\) y no corta a ninguno de los dos planos.
(c) (0,75 p.) Determine el punto de la recta \(r\) que equidista de \(P\) y de \(Q\).
Solución
Parte (a): Comprobamos que los planos se cortan en una recta.
Los vectores normales a los planos son:
\[ \mathbf{n}_1 = (1, -1, 1), \quad \mathbf{n}_2 = (1, 1, -1). \]Como los vectores normales no son proporcionales, los planos no son paralelos ni coincidentes, por lo que se cortan en una recta.
Para hallar la intersección de los planos, resolvemos el sistema:
\[ \begin{aligned} x - y + z &= 0, \\ x + y - z &= 2. \end{aligned} \]Sumando las dos ecuaciones obtenemos:
\[ 2x = 2 \quad \Longrightarrow \quad x = 1. \]Sustituyendo \(x = 1\) en cualquiera de las ecuaciones originales:
\[ 1 - y + z = 0 \quad \Longrightarrow \quad z = y - 1. \]Por lo tanto, la solución es una recta con ecuación paramétrica:
\[ \begin{aligned} x &= 1, \\ y &= \lambda, \\ z &= \lambda - 1. \end{aligned} \]La ecuación continua de la recta es:
\[ \frac{x - 1}{0} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}. \]