Plano que contiene a dos puntos y es Perpendicular a otro plano
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¿cómo hallo un plano que contiene a dos puntos y es perpendicular a otro plano?
Para hallar un plano que contiene a dos puntos y es perpendicular a otro plano necesito conocer las coordenadas de los puntos y el vector normal del otro plano. A partir de los dos puntos hallo un vector del plano. Con uno de los puntos, el vector que une a los dos puntos y el vector normal del otro plano ya puedo escribir todas las ecuaciones del plano que me piden.
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PAU Madrid Convocatoria Ordinaria 2024
Pregunta A3.
Dados los puntos \[ A=(0,0,1) \quad \text{y} \quad B=(1,1,0), \] se pide:
- (a) Hallar una ecuación del plano que pasa por \(A\) y \(B\) y es perpendicular al plano \(z=0\).
- (b) Hallar ecuaciones de dos rectas paralelas, \(r_1\) y \(r_2\), que pasen por los puntos \(A\) y \(B\) respectivamente, estén en el plano \(x+z=1\) y tal que la distancia entre ellas sea 1.
Solución
Apartado (a):
Para que un plano sea perpendicular al plano \(z=0\) (horizontal), el vector normal del plano \(z=0\), es decir, \((0,0,1)\), debe estar contenido en él. Así, si tomamos dos vectores en el plano buscado, uno puede ser el vector que une \(A\) y \(B\) y el otro el vector \((0,0,1)\).
Se calcula el vector \(\overrightarrow{AB}\):
\[ \overrightarrow{AB}=B-A=(1-0,\, 1-0,\, 0-1)=(1,1,-1). \]
Entonces, dos vectores en el plano son \((0,0,1)\) y \((1,1,-1)\). El vector normal del plano se obtiene mediante el producto vectorial:
\[ \mathbf{n}=(0,0,1)\times(1,1,-1). \]
Calculando:
- \(n_1=0\cdot(-1)-1\cdot1=-1\),
- \(n_2=1\cdot1-0\cdot(-1)=1\),
- \(n_3=0\cdot1-0\cdot1=0\).
Por tanto, \(\mathbf{n}=(-1,1,0)\) y la ecuación del plano es:
\[ -1(x-0)+1(y-0)+0(z-1)=0 \quad \Longrightarrow \quad -x+y=0, \]
es decir,
\[ \boxed{x-y=0.} \]