Apartado c: Cálculo de la ecuación del plano que contiene al punto \(P\) y es paralelo a \(r\) y \(s\)

A partir de las ecuaciones implícitas de la recta \(r\), se tienen:

• \(x+2y=13\) con vector normal \(\mathbf{n}_r^1=(1,2,0)\).
• \(z=2\) con vector normal \(\mathbf{n}_r^2=(0,0,1)\).

El vector director de \(r\) se obtiene mediante el producto vectorial:

\(\vec{v}_r = \mathbf{n}_r^1 \times \mathbf{n}_r^2\).

Calculando:

• \(v_{r_x} = 2\cdot1 - 0\cdot0 = 2\).
• \(v_{r_y} = 0\cdot0 - 1\cdot1 = -1\).
• \(v_{r_z} = 1\cdot0 - 2\cdot0 = 0\).

Por lo tanto, el vector director de \(r\) es \(\vec{v}_r = (2,-1,0)\).

De la recta \(s\), a partir de sus ecuaciones implícitas:

• \(y+2z=4\) con vector normal \(\mathbf{n}_s^1=(0,1,2)\).
• \(-x+y=3\) con vector normal \(\mathbf{n}_s^2=(-1,1,0)\).

El vector director de \(s\) se obtiene mediante:

\(\vec{v}_s = \mathbf{n}_s^1 \times \mathbf{n}_s^2\).

Calculando:

• \(v_{s_x} = 1\cdot0 - 2\cdot1 = -2\).
• \(v_{s_y} = 2\cdot(-1) - 0\cdot0 = -2\).
• \(v_{s_z} = 0\cdot1 - 1\cdot(-1) = 1\).

Así, el vector director de \(s\) es \(\vec{v}_s = (-2,-2,1)\).

Ahora, para obtener el vector normal al plano que debe ser paralelo a ambas rectas, hacemos el producto vectorial de los vectores directores obtenidos:

\(\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{v}_s\).

Aplicando la fórmula:

• \(n_x = (-1)(1) - (0)(-2) = -1\).
• \(n_y = (0)(-2) - (2)(1) = -2\).
• \(n_z = (2)(-2) - (-1)(-2) = -4 - 2 = -6\).

Multiplicamos por \(-1\) para obtener un vector normal con componentes positivas: \(\vec{n} = (1,2,6)\).

Con el punto \(P(0,3,0)\) y el vector normal \(\vec{n} = (1,2,6)\), la ecuación implícita del plano es:

\(1\,(x-0)+2\,(y-3)+6\,(z-0)=0\),

lo que se simplifica a:

\[ x+2y-6+6z=0 \quad \Longrightarrow \quad x+2y+6z-6=0. \]