Plano que contiene a un punto y es paralelo a otro plano

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¿cómo hallo un plano que contiene a un punto y es perpendicular a una recta?

Para hallar un plano que contiene a un punto y es paralelo a otro plano hallamos el vector normal al plano que nos dan y este será el vector normal al plano que buscamos (dado que son paralelos). Con este vector normal y el punto ya podemos hallar la ecuación general o implícita del plano que buscamos.

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exámenes de pau de matemáticas ii

Problema 8 - Análisis de Planos

EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024

Problema 8

Dado el punto \(P \equiv (2,-1,3)\), halla las ecuaciones de los siguientes planos que contienen a \(P\).

(i) Paralelo a \(\pi : 4x+3y-2z+4=0\).

(ii) Perpendicular a la recta \(r \equiv \frac{x-3}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z+2}{-4}\).

Solución

Parte (i): Hallar el plano paralelo a \(\pi: 4x+3y-2z+4=0\) que contiene a \(P(2,-1,3)\).

Pasos:

  1. El plano \(\pi\) tiene vector normal \(\mathbf{n}=(4,3,-2)\). Todo plano paralelo a \(\pi\) tendrá el mismo vector normal, por lo que su ecuación será de la forma: \[ 4x+3y-2z+d=0, \] donde \(d\) es una constante.

  2. Como el plano buscado debe contener a \(P(2,-1,3)\), sustituimos las coordenadas de \(P\) en la ecuación: \[ 4(2)+3(-1)-2(3)+d=0. \]

  3. Realizamos el cálculo: \[ 8-3-6+d=0 \quad \Longrightarrow \quad -1+d=0, \] por lo tanto, \(d=1\).

  4. La ecuación del plano buscado es: \[ 4x+3y-2z+1=0. \]