Aplicaciones del producto mixto: Volumen del paralelepípedo y del tetraedro

Conocimientos previos

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Volumen del paralelepípedo y del tetraedro: Enlace al vídeo

¿Cómo hallo el volumen de un paralelepípedo? ¿Cómo hallo el volumen de un tetraedro?

El producto mixto tiene una interpretación geométrica importante. El valor absoluto del producto mixto de tres vectores u, v y w es igual al volumen del paralelepípedo formado por estos vectores como aristas. El signo del producto mixto indica la orientación del paralelepípedo, cuando es positivo significa que el paralelepípedo se encuentra del mismo lado del plano definido por v y w que el vector u y cuando es negativo que se encuentra del lado contrario.

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exámenes de pau de matemáticas ii

PAU Madrid Convocatoria Ordinaria 2024 - Matemáticas II

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Ejercicio B3.

Al ordenador de una impresora 3D se le suministraron ayer las coordenadas de los cuatro vértices \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) y \(P_4\) de un tetraedro sólido, el cual construyó al momento. Se sabe que \[ P_1(1,1,1),\quad P_2(2,1,0),\quad P_3(1,3,2), \] y que el cuarto punto es \[ P_4(3,a,3), \] donde \(a\) es desconocido.

Se pide:

(a) (1.5 puntos) A partir de la cantidad de material utilizado por la impresora sabemos que el volumen del tetraedro es \(V=1\). También sabemos que la longitud de ninguna de sus aristas supera la altura de la impresora, que es 10. Determine los posibles valores de \(a\).
(b) (1 punto) Dado el punto \(Q(3,3,3)\), se quiere imprimir el paralelepípedo que tiene como aristas los segmentos \(P_1P_2\), \(P_1P_3\) y \(P_1Q\). ¿Cuáles son las coordenadas de los ocho vértices del paralelepípedo que habría que suministrar al ordenador?

Solución

B3 (a):

Sea \[ P_1=(1,1,1),\quad P_2=(2,1,0),\quad P_3=(1,3,2),\quad P_4=(3,a,3). \] Recordamos que el volumen \(V\) de un tetraedro determinado por los vértices \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) y \(P_4\) se calcula mediante \[ V=\frac{1}{6}\left|\det\bigl(P_2-P_1,\;P_3-P_1,\;P_4-P_1\bigr)\right|. \]

Calculamos los vectores:

\(P_2-P_1=(2-1,\,1-1,\,0-1)=(1,0,-1)\).
\(P_3-P_1=(1-1,\,3-1,\,2-1)=(0,2,1)\).
\(P_4-P_1=(3-1,\,a-1,\,3-1)=(2,\,a-1,\,2)\).

Denotamos: \[ v=(1,0,-1),\quad w=(0,2,1),\quad u=(2,a-1,2). \] Entonces, \[ \det(v,w,u)=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & a-1 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix}. \]

Utilizando la expansión por cofactores a lo largo de la primera fila: \[ \det(v,w,u)=1\cdot\det\begin{pmatrix} 2 & a-1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - 0\cdot\det\begin{pmatrix} 0 & a-1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} + 2\cdot\det\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}. \]

Calculamos cada determinante:

\(\det\begin{pmatrix} 2 & a-1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}= 2\cdot2-(a-1)\cdot1=4-(a-1)=5-a.\)
\(\det\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=0\cdot1-2\cdot(-1)=2.\)

Por lo tanto, \[ \det(v,w,u)= (5-a)+2\cdot2=(5-a)+4=9-a. \]

La condición del volumen es: \[ \frac{1}{6}\left|9-a\right|=1 \quad\Longrightarrow\quad \left|9-a\right|=6. \]

Esto nos lleva a dos casos:

\(9-a=6\) ⟹ \(a=3\).
\(9-a=-6\) ⟹ \(a=15\).

Sin embargo, se impone la condición de que ninguna arista supere la altura de la impresora (10 unidades). Calculemos, por ejemplo, la longitud de la arista \(P_1P_4\):

Para \(a=3\): \[ P_1P_4=\sqrt{(3-1)^2+(3-1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}\approx 3.46<10. \]

Para \(a=15\): \[ P_1P_4=\sqrt{(3-1)^2+(15-1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{4+196+4}=\sqrt{204}\approx 14.28>10. \]

Por lo tanto, la única solución válida es \(a=3\).

B3 (b):

Ahora, se quiere construir un paralelepípedo que tenga como aristas los segmentos \(P_1P_2\), \(P_1P_3\) y \(P_1Q\), donde \[ Q=(3,3,3). \]

Primero, determinamos los vectores de las aristas:

\(P_1=(1,1,1)\) y \(P_2=(2,1,0)\) ⟹ \(P_1P_2=(2-1,\,1-1,\,0-1)=(1,0,-1).\)
\(P_3=(1,3,2)\) ⟹ \(P_1P_3=(1-1,\,3-1,\,2-1)=(0,2,1).\)
\(Q=(3,3,3)\) ⟹ \(P_1Q=(3-1,\,3-1,\,3-1)=(2,2,2).\)

Denotamos: \[ v=(1,0,-1),\quad w=(0,2,1),\quad u=(2,2,2). \]

Partiendo del vértice \(P_1=(1,1,1)\), los 8 vértices del paralelepípedo se obtienen sumando los distintos subconjuntos de los vectores \(v\), \(w\) y \(u\). Es decir, los vértices son:

\(P_1 = (1,1,1).\)
\(P_1+v = (1+1,\,1+0,\,1-1) = (2,1,0).\)
\(P_1+w = (1+0,\,1+2,\,1+1) = (1,3,2).\)
\(P_1+u = (1+2,\,1+2,\,1+2) = (3,3,3).\)
\(P_1+v+w = (1+1+0,\,1+0+2,\,1-1+1) = (2,3,1).\)
\(P_1+v+u = (1+1+2,\,1+0+2,\,1-1+2) = (4,3,2).\)
\(P_1+w+u = (1+0+2,\,1+2+2,\,1+1+2) = (3,5,4).\)
\(P_1+v+w+u = (1+1+0+2,\,1+0+2+2,\,1-1+1+2) = (4,5,3).\)

Estos son los 8 vértices del paralelepípedo:

\( (1,1,1) \)
\( (2,1,0) \)
\( (1,3,2) \)
\( (3,3,3) \)
\( (2,3,1) \)
\( (4,3,2) \)
\( (3,5,4) \)
\( (4,5,3) \)