Paso 1: Hallar el plano perpendicular a \(r\) que pasa por \(P\)

Para obtener el plano perpendicular a \(r\), notamos que su vector director \(\mathbf{v} = (1,2,2)\) será el vector normal del plano.

Como el plano debe contener al punto \(P = (1,0,-1)\), su ecuación es de la forma

\[ 1(x-1) + 2(y-0) + 2(z+1) = 0. \]

Desarrollando la ecuación:

\[ (x-1) + 2y + 2z + 2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x + 2y + 2z + 1 = 0. \]

Esta es la ecuación del plano perpendicular a \(r\) que pasa por \(P\).

Paso 2: Obtención de las ecuaciones implícitas de la recta \(r\).

La recta \(r\) está dada por: \[ \frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{2}. \]

Para obtener las ecuaciones implícitas:

1. Igualamos las dos fracciones que involucran \(y\) y \(z\): \[ \frac{y}{2}=\frac{z}{2} \quad \Longrightarrow \quad y=z. \]
2. Igualamos \(\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}\). Multiplicando ambos lados por 2 obtenemos: \[ 2(x-1)=y \quad \Longrightarrow \quad 2x-y-2=0. \]

Por lo tanto, las ecuaciones implícitas de \(r\) son:

\[ \begin{cases} y - z = 0, \\[1mm] 2x - y - 2 = 0. \end{cases} \]

Paso 3: Hallar el punto de intersección \(P_0\) resolviendo el sistema de ecuaciones implícitas de la recta y la ecuación del plano.

Tenemos el siguiente sistema formado por las ecuaciones implícitas de \(r\) y la ecuación del plano \(x+2y+2z+1=0\):

\[ \begin{cases} y - z = 0, \\[1mm] 2x - y - 2 = 0, \\[1mm] x + 2y + 2z + 1 = 0. \end{cases} \]

Procedemos a resolver el sistema:

1. De la primera ecuación, obtenemos: \[ y = z. \]
2. Sustituyendo \(y = z\) en la tercera ecuación, tenemos: \[ x + 2y + 2y + 1 = x + 4y + 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = -4y - 1. \]
3. Sustituyendo \(x = -4y - 1\) en la segunda ecuación: \[ 2(-4y - 1) - y - 2 = -8y - 2 - y - 2 = -9y - 4 = 0. \]

   Despejamos \(y\):

   \[ -9y - 4 = 0 \quad \Longrightarrow \quad y = -\frac{4}{9}. \]
4. Dado que \(y=z\), obtenemos: \[ z = -\frac{4}{9}. \]
5. Finalmente, usando \(x = -4y - 1\): \[ x = -4\left(-\frac{4}{9}\right) - 1 = \frac{16}{9} - 1 = \frac{16-9}{9} = \frac{7}{9}. \]

Por lo tanto, el punto de intersección es:

\[ P_0 = \left(\frac{7}{9}, -\frac{4}{9}, -\frac{4}{9}\right). \]

Paso 4: Hallar el punto simétrico \(Q\) de \(P\) respecto a la recta \(r\).

Si \(P_0\) es el punto de intersección (la proyección de \(P\) sobre \(r\)), el punto simétrico \(Q\) se obtiene reflejando \(P\) respecto de \(P_0\) mediante la fórmula:

\[ Q = 2P_0 - P. \]

Recordemos que \(P = (1,0,-1)\) y \(P_0 = \left(\frac{7}{9}, -\frac{4}{9}, -\frac{4}{9}\right)\). Entonces, calculamos:

• \(x_Q = 2\left(\frac{7}{9}\right) - 1 = \frac{14}{9} - \frac{9}{9} = \frac{5}{9}\),
• \(y_Q = 2\left(-\frac{4}{9}\right) - 0 = -\frac{8}{9}\),
• \(z_Q = 2\left(-\frac{4}{9}\right) - (-1) = -\frac{8}{9} + \frac{9}{9} = \frac{1}{9}\).

Por lo tanto, el punto simétrico es:

\[ Q = \left(\frac{5}{9}, -\frac{8}{9}, \frac{1}{9}\right). \]

Conclusión:

Para hallar el punto simétrico de \(P=(1,0,-1)\) respecto de la recta \(r\), se han seguido estos pasos:

1. Se obtuvieron las ecuaciones implícitas de \(r\) a partir de la forma simétrica, resultando en: \[ \begin{cases} y - z = 0,\\[1mm] 2x - y - 2 = 0. \end{cases} \]
2. El plano perpendicular a \(r\) que pasa por \(P\) tiene ecuación: \[ x+2y+2z+1=0. \]
3. Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones implícitas de \(r\) y la del plano se obtuvo el punto de intersección: \[ P_0 = \left(\frac{7}{9}, -\frac{4}{9}, -\frac{4}{9}\right). \]
4. Utilizando la fórmula del punto medio, el punto simétrico se halla como: \[ Q = 2P_0 - P = \left(\frac{5}{9}, -\frac{8}{9}, \frac{1}{9}\right). \]

Por lo tanto, el punto simétrico de \(P\) respecto a la recta \(r\) es: \[ Q = \left(\frac{5}{9}, -\frac{8}{9}, \frac{1}{9}\right). \]