PROPIEDADES DE LA SUMA Y LA MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR
Conocimientos previos
- Definición y representación de vectores en el espacio.
- Suma de vectores.
- Multiplicación de un vector por un escalar.
concepto y ejemplos: vídeo y pdf para descargar
Propiedades de la suma y la multiplicación por escalar: Enlace al vídeo.
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Los vectores junto con las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar forman una estructura algebraica denominada espacio vectorial.
¿CUÁLES SON LAS PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES? ¿cUÁLES SON LAS PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR?
Propiedades de la suma de vectores:
- Conmutatividad:
La suma de vectores es conmutativa, lo que significa que el orden en que se suman los vectores no afecta el resultado. Matemáticamente: u+v=v+u
- Asociatividad:
La suma de vectores es asociativa, lo que permite agrupar los vectores de diferentes maneras sin alterar el resultado. Matemáticamente: (u + v) + w = u + (v + w)
- Elemento neutro:
Existe un vector cero (0) que no afecta la magnitud ni la dirección de cualquier vector al que se suma. Matemáticamente:
u + 0 = 0 + u = u
- Elemento inverso:
Para cada vector u, existe un vector inverso (-u) que al sumarse con A lo anula. Matemáticamente: u + (-u) = 0
Propiedades del producto por un escalar:
- Distributividad sobre la suma de vectores:
El producto por un escalar se distribuye sobre la suma de vectores. Esto es, cualquiera que sea el escalar k y cualesquiera que sean los vectores u y v: k(u + v) = ku + kv.
- Distributividad sobre la suma de escalares:
El producto por un escalar se distribuye sobre la suma de escalares. Esto es, cualquiera que sean los escalares escalar k, l y cualesquiera que sea el vector u: (k + l)u = k1u + lu.
- Asociatividad:
El producto por un escalar es asociativo con respecto a la multiplicación de escalares. Matemáticamente: (kl)u = k(lu)
- Elemento neutro:
El escalar 1 no modifica la magnitud ni la dirección de un vector al multiplicarlo. Matemáticamente: 1u = u
- Elemento opuesto:
-1xu es el elemento opuesto del vector u, esto es: -1xu+u=u+(-1xu)=0
Relaciones entre la suma y el producto por un escalar:
- Producto de un escalar por el vector cero:
El producto de un escalar k por el vector cero (0) es el vector cero (0). Matemáticamente: k(0) = 0
- Producto de cero por un vector:
El producto del escalar cero (0) por un vector cualquiera u es el vector cero (0): 0xu=0.