INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
Conocimientos previos
- Derivación.
- Propiedades de las integrales indefinidas.
- Integrales polinómicas.
- Integrales logarítmicas.
- Integrales exponenciales.
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¿cómo integro el sen(x)? ¿como integro cos(x)?
Por integrales trigonométricas nos referimos a integrales cuyo resultado es una función trigonométrica de la variable x o una función trigonométrica de una función de la variable x. En el vídeo vemos como integrar sen(x), cos(x), sec^2(x), cosec^2(x), sec(x)tg(x) y cosec(x)cotg(x).
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Pregunta 4.
Dada la función \[ f(x)=\sin(\pi-2x), \] (a) [1.25 p.] Calcula una primitiva de \(f\) que pase por el punto \(\left(\frac{\pi}{2},1\right)\). (b) [1.25 p.] Calcula el área limitada por la función \(f\), el eje \(OX\) y las rectas verticales \(x=-\frac{\pi}{4}\) y \(x=\frac{\pi}{4}\).
Solución
Apartado a: Cálculo de una primitiva de \(f(x)=\sin(\pi-2x)\)
Para hallar una primitiva \(F(x)\) de \(f(x)\) reescribimos la integral:
\[ F(x)=\int \sin(\pi-2x)\,dx=-\frac{1}{2}\int (-2)\sin(\pi-2x)\,dx. \]
Sabemos que \(\int u'\sin(u)\,dx=-\cos(u)+C\), de modo que:
\[ F(x)=-\frac{1}{2}\bigl[-\cos(\pi-2x)\bigr]+C=\frac{1}{2}\cos(\pi-2x)+C. \]
Para determinar la constante \(C\), usamos la condición \(F\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\):
\[ F\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}\cos\Bigl(\pi-2\cdot\frac{\pi}{2}\Bigr)+C=\frac{1}{2}\cos(0)+C=\frac{1}{2}(1)+C. \]
Igualando a 1:
\(\frac{1}{2}+C=1 \quad \Rightarrow \quad C=\frac{1}{2}\).
Por lo tanto, una primitiva de \(f\) que pase por \(\left(\frac{\pi}{2},1\right)\) es:
\[ F(x)=\frac{1}{2}\cos(\pi-2x)+\frac{1}{2}. \]