A4 (a):

1. Cálculo de \(P(A)\):
Dado que \(P(A^c)=\frac{11}{20}\), se tiene: \[ P(A)=1-P(A^c)=1-\frac{11}{20}=\frac{9}{20} \]

2. Relación entre \(P(A\cap B)\) y \(P(B)\) mediante probabilidades condicionales:
Recordamos que: \[ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \quad \text{y} \quad P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \] Así, la diferencia dada es: \[ P(A|B)-P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}-\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{1}{24} \]

Sea \(X=P(A\cap B)\). Entonces, sustituyendo \(P(A)=\frac{9}{20}\), se tiene: \[ X\Bigl(\frac{1}{P(B)}-\frac{1}{\frac{9}{20}}\Bigr)=X\Bigl(\frac{1}{P(B)}-\frac{20}{9}\Bigr)=\frac{1}{24} \]

3. Relación entre \(P(A)\), \(P(A\cap B)\) y \(P(A\cap B^c)\):
Como \(A\) se puede dividir en la parte que coincide con \(B\) y la parte que coincide con su complementario, se cumple: \[ P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^c) \] Dado que \(P(A\cap B^c)=\frac{3}{10}\), despejamos: \[ P(A\cap B)=P(A)-\frac{3}{10}=\frac{9}{20}-\frac{3}{10} \] Notamos que \(\frac{3}{10}=\frac{6}{20}\), de donde: \[ P(A\cap B)=\frac{9-6}{20}=\frac{3}{20} \] Así, \(X=\frac{3}{20}\).

4. Determinación de \(P(B)\):
Sustituyendo \(X=\frac{3}{20}\) en la ecuación: \[ \frac{3}{20}\Bigl(\frac{1}{P(B)}-\frac{20}{9}\Bigr)=\frac{1}{24} \] \[ 3\Bigl(\frac{1}{P(B)}-\frac{20}{9}\Bigr)=\frac{20}{24}=\frac{5}{6} \] \[ \frac{1}{P(B)}-\frac{20}{9}=\frac{5}{18} \] \[ \frac{1}{P(B)}=\frac{5}{18}+\frac{20}{9} \] \[ \frac{1}{P(B)}=\frac{5+40}{18}=\frac{45}{18}=\frac{5}{2} \] \[ P(B)=\frac{2}{5}. \]

Conclusiones del apartado (a):

• \(P(A\cap B)=\frac{3}{20}\).
• \(P(B)=\frac{2}{5}\).